Direkt zum Inhalt

Aufgabe

Doppelspalt Einstiegsaufgabe 5

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Hinweis: Hilfen zur Lösung dieser Aufgabe findest du im Grundwissen zum Doppelspalt.

a)   Leite mit Hilfe der Skizze kommentiert die Formel \(\Delta s = d \cdot \frac{a}{e}\) für den Doppelspalt her.

b)   Begründe, dass für \(\Delta s = n \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {0\;;\;1\;;\;2\;;\;...} \right\}\) am Punkt \(\rm{A}\) Intensitätsmaxima und für \(\Delta s = \left( {n - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\) am Punkt \(\rm{A}\) Intensitätsminima auftreten.

c)   Paralleles monochromatisches Licht der Wellenlänge \(\lambda  = 750{\rm{nm}}\) fällt senkrecht auf einen Doppelspalt mit dem Spaltabstand \(d = 0,100{\rm{mm}}\). Das entstehende Beugungsbild wird in Abstand \(e = 3,00{\rm{m}}\) vom Doppelspalt auf einem Schirm beobachtet. Im Abstand \(a = 22,5{\rm{cm}}\) vom Hauptmaximum erkennt man auf dem Schirm ein Nebenmaximum.

Berechne die Ordnung \(n\) dieses Nebenmaximums.

Lösung einblendenLösung verstecken Lösung einblendenLösung verstecken

a)   Im rechtwinkligen Dreieck \({{\rm{S}}_{\rm{1}}}{{\rm{S}}_{\rm{2}}}{\rm{P}}\) gilt
\[{\rm{sin}}\left( \alpha  \right) = \frac{{\Delta s}}{d} \quad (1)\]
Im rechtwinkligen Dreieck \({\rm{MOA}}\) gilt \[{\rm{tan}}\left( \alpha  \right) = \frac{a}{e} \quad(2)\]
Da für kleine Winkelweiten \(\alpha\) näherungsweise \({\rm{sin}}\left( \alpha  \right) \approx {\rm{tan}}\left( \alpha  \right)\) gilt, erhält man aus \((1)\) und \((2)\)
\[\frac{{\Delta s}}{d} = \frac{a}{e} \Leftrightarrow \Delta s = a \cdot \frac{d}{e}\]

b)   Für \(\Delta s = n \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {0\;;\;1\;;\;2\;;\;...} \right\}\) treffen am Punkt \(\rm{A}\) stets Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental, es kommt zu konstruktiver Interferenz und damit Intensitätsmaxima.

Für \(\Delta s = \left( {n - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\) treffen am Punkt \(\rm{A}\) stets Wellenberg auf Wellental und Wellental auf Wellenberg, es kommt zu destruktiver Interferenz und damit  Intensitätsminima.

c)   Aus
\[n \cdot \lambda  = a \cdot \frac{d}{e} \Leftrightarrow n = \frac{a}{\lambda } \cdot \frac{d}{e}\]
erhält man mit den gegebenen Werten
\[n = \frac{{22,5 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}}{{750 \cdot {{10}^{ - 9}}{\rm{m}}}} \cdot \frac{{0,100 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{{3,00{\rm{m}}}} = 10\]