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Aufgabe

Doppelspalt Einstiegsaufgabe 1

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Hinweis: Hilfen zur Lösung dieser Aufgabe findest du im Grundwissen zum Doppelspalt.

a)   Leite mit Hilfe der Skizze kommentiert die Formel \(\Delta s = a \cdot \frac{d}{e}\) für den Doppelspalt her.

b)   Begründe, dass für \(\Delta s = n \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {0\;;\;1\;;\;2\;;\;...} \right\}\) am Punkt \(\rm{A}\) Intensitätsmaxima und für \(\Delta s = \left( {n - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\) am Punkt \(\rm{A}\) Intensitätsminima auftreten.

Ein Doppelspalt mit dem Spaltmittenabstand \(d = 4,91 \cdot {10^{ - 4}}{\rm{m}}\) wird von parallelem monochromatischem Licht beleuchtet. Auf einem Schirm im Abstand \(e = 2,00{\rm{m}}\) zum Spalt ist das erste Nebenmaximum im Abstand \(a_1 = 1,70{\rm{mm}}\) zum Hauptmaximum zu beobachten.

c)   Berechne die Wellenlänge \(\lambda\) des Lichts.

 

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a)   Im rechtwinkligen Dreieck \({{\rm{S}}_{\rm{1}}}{{\rm{S}}_{\rm{2}}}{\rm{P}}\) gilt
\[{\rm{sin}}\left( \alpha  \right) = \frac{{\Delta s}}{d} \quad (1)\]
Im rechtwinkligen Dreieck \({\rm{MOA}}\) gilt \[{\rm{tan}}\left( \alpha  \right) = \frac{a}{e} \quad(2)\]
Da für kleine Winkelweiten \(\alpha\) näherungsweise \({\rm{sin}}\left( \alpha  \right) \approx {\rm{tan}}\left( \alpha  \right)\) gilt, erhält man aus \((1)\) und \((2)\)
\[\frac{{\Delta s}}{d} = \frac{a}{e} \Leftrightarrow \Delta s = a \cdot \frac{d}{e}\]

b)   Für \(\Delta s = n \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {0\;;\;1\;;\;2\;;\;...} \right\}\) treffen am Punkt \(\rm{A}\) stets Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental, es kommt zu konstruktiver Interferenz und damit Intensitätsmaxima.

Für \(\Delta s = \left( {n - \frac{1}{2}} \right) \cdot \lambda \;;\;n \in \left\{ {1\;;\;2\;;\;3\;;\;...} \right\}\) treffen am Punkt \(\rm{A}\) stets Wellenberg auf Wellental und Wellental auf Wellenberg, es kommt zu destruktiver Interferenz und damit  Intensitätsminima.

c)   Aus
\[n \cdot \lambda  = a_n \cdot \frac{d}{e} \Leftrightarrow \lambda  = \frac{a_n}{n} \cdot \frac{d}{e}\]
erhält man mit \(n=1\) und den gegebenen Werten
\[\lambda  = \frac{{1,70 \cdot {{10}^{ - 3}}{\rm{m}}}}{1} \cdot \frac{{4,91 \cdot {{10}^{ - 4}}{\rm{m}}}}{{2,00{\rm{m}}}} = 4,17 \cdot {10^{ - 7}}{\rm{m}} = 417 \cdot {10^{ - 9}}{\rm{m}} = 417{\rm{nm}}\]