In einem Modellversuch zur BRAGG-Reflexion werden auf einer Platte Metallstäbe im Abstand von jeweils \(4{,}0\,{\rm{cm}}\) angebracht. Diese Anordnung wird mit Mikrowellen unbekannter Wellenlänge bestrahlt. Der Versuchsaufbau ist in Abb. 1 dargestellt.
Man beobachtet Reflexion der Mikrowellen unter den Glanzwinkeln \(24^\circ \) und \(53^\circ \).
a)Leite mit Hilfe einer beschrifteten Skizze kommentiert die Formel\[n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \theta_n\right)\]für die Weiten der Glanzwinkel bei der BRAGG-Reflexion her.
b)Berechne die Wellenlänge der Mikrowellen in diesem Modellversuch und berechne daraus deren Frequenz. [Kontrollergebnis: \(3{,}2\,{\rm{cm}}\)]
c)Untersuche, wie viele Glanzwinkel bei diesem Aufbau höchstens beobachtet werden können.
d)Um Arbeit und Material zu sparen möchte man den Abstand der Metallstäbe so weit wie möglich vergrößern. Aus technischen Gründen muss der Glanzwinkel 1. Ordnung zwischen \(5^\circ \) und \(85^\circ \) liegen.
Untersuche, wie der maximale Abstand der Metallstäbe höchstens sein darf, um noch BRAGG-Reflexion beobachten zu können.
a)Für den Gangunterschied \(\Delta s\) der an den beiden Netzebenen reflektierten Wellen (vgl. Abb. 2) gilt\[\Delta s = \Delta {s_1} + \Delta {s_2}\]und wegen \(\Delta {s_1} = \Delta {s_2}\)\[\Delta s = 2 \cdot \Delta {s_1}\quad(1)\]Weiter gilt im rechtwinkligen Dreieck \({\rm{ABC}}\)\[{\rm{sin}}\left( \vartheta \right) = \frac{{\Delta {s_1}}}{d} \Leftrightarrow \Delta {s_1} = d \cdot {\rm{sin}}\left( \vartheta \right)\quad(2)\]Einsetzen von \((2)\) in \((1)\) liefert\[\Delta s = 2 \cdot d \cdot {\rm{sin}}\left( \vartheta \right)\]Zur konstruktiven Interferenz und damit zur Reflexion der Wellen kommt es nur dann, wenn \(\Delta s\) ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge \(\lambda \) ist. Somit ergibt sich\[n \cdot \lambda = 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n \right) \]
b)Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( {{\vartheta _n}} \right)\quad\quad\quad\quad\left| {:n} \right.\\\lambda &=& \frac{{2 \cdot d \cdot \sin \left( {{\vartheta _n}} \right)}}{n}\end{eqnarray}\]Für \(n=1\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\lambda = \frac{{2 \cdot 4,0{\rm{cm}} \cdot \sin \left( {24^\circ } \right)}}{1} = 3,3{\rm{cm}}\]Für \(n=2\) erhält man nach Einsetzen der gegebenen Werte\[\lambda = \frac{{2 \cdot 4,0{\rm{cm}} \cdot \sin \left( {53^\circ } \right)}}{2} = 3,2{\rm{cm}}\]Die Frequenz erhält man durch\[\lambda = \frac{c}{f} \Leftrightarrow f = \frac{c}{\lambda } \Rightarrow f = \frac{{3,0 \cdot {{10}^8}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{3,2 \cdot {{10}^{ - 2}}{\rm{m}}}} = 9,4 \cdot {10^9}{\rm{Hz}} = 9,4{\rm{GHz}}\]
c)Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n \right)\\2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n \right) &=& n \cdot \lambda \quad\quad\quad\quad \left| {:\left( {2 \cdot d} \right)} \right.\\\sin \left( \vartheta_n \right) &=& n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}\end{eqnarray}\]Daraus ergibt sich\[\vartheta_n = \arcsin \left( {n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}}} \right)\]Glanzwinkel ergeben sich aus dieser Gleichung nur dann, wenn das Argument des \(\arcsin\) kleiner oder gleich \(1\) ist. Damit erhält man\[\begin{eqnarray}n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot d}} &\le& 1\left| { \cdot \frac{{2 \cdot d}}{\lambda }} \right.\\n &\le& \frac{{2 \cdot d}}{\lambda }\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[n \le \frac{{2 \cdot 4,0{\rm{cm}}}}{{3,2{\rm{cm}}}} = 2,5\]Dies bedeutet, dass nur zwei Glanzwinkel beobachtet werden können.
d)Ausgehend von der BRAGG-Gleichung erhält man durch Umstellen\[\begin{eqnarray}n \cdot \lambda &=& 2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n \right)\\2 \cdot d \cdot \sin \left( \vartheta_n \right) &=& n \cdot \lambda \quad\quad\quad\quad\left| {:\left( {2 \cdot \sin \left( \vartheta_n \right)} \right)} \right.\\d &=& n \cdot \frac{\lambda }{{2 \cdot \sin \left( \vartheta_n \right)}}\end{eqnarray}\]Der Term auf der rechten Seite wird für \(n=1\) maximal, wenn \(\sin \left( \vartheta_n \right)\) minimal ist. Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[d = 1 \cdot \frac{{3,2{\rm{cm}}}}{{2 \cdot \sin \left( {5^\circ } \right)}} = 18{\rm{cm}}\]
