Ein Feder-Schwere-Pendel besteht aus einem Pendelkörper, der über eine Feder an einer Befestigung vertikal aufgehängt ist.
Der Pendelkörper wird ein Stück aus der Gleichgewichtslage ausgelenkt, festgehalten und dann losgelassen.
Die Animation in Abb. 1 zeigt den prinzipiellen Aufbau, die Durchführung und die Beobachtung des entsprechenden Versuchs. Wenn du die Checkbox "Größen" anwählst, kannst du dir in der Animation die wichtigsten Größen und das geschickt gewählte Koordinatensystem zur Beschreibung der Bewegung einblenden lassen.
In der Regel machen wir zur mathematischen Beschreibung des Feder-Schwere-Pendels folgende vereinfachende Annahmen:
- Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.
- Die Masse der Feder wird vernachlässigt.
- Der Betrag der Federkraft ist proportiona zur Ausdehnung der Feder.
Bewegung des Feder-Schwere-Pendels
Ein Pendelkörper der Masse \(m\) befindet sich an einer vertikal beweglichen Feder mit der Federkonstante \(D\) und wird auf die Position \(y\) ausgelenkt. Dann gilt für die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\)\[F_{\rm{rück}}=-D \cdot y\]Die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) ist also entgegengesetzt gerichtet und betraglich proportional zur Auslenkung \(y\). Das Feder-Schwere-Pendel schwingt somit harmonisch.
Bei geeignet gewähltem Koordinatensystem (vgl. Abb. 2) und den Anfangsbedingungen \(y(0) = y_0\) und \(v(0)=\dot y(0) = 0\) wird die Bewegung eines Feder-Schwere-Pendels beschrieben durch die Zeit-Ort-Funktion\[y(t) = \hat{y} \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\hat y=y_0}\quad{\rm{und}}\quad{\omega} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]Für die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich dann wegen \(T=\frac{2 \, \pi}{\omega}\)\[T = 2 \, \pi \cdot \sqrt {\frac{m}{{D}}} \]Die Schwingungsdauer ist insbesondere unabhängig von der Amplitude \(\hat y\) der Schwingung und dem Ortsfaktor \(g\).
Hinweis
Man unterliegt leicht der Vorstellung, dass ein Feder-Schwere-Pendel wegen der zusätzlichen Gewichtskraft auf den Pendelkörper anders schwingt als ein baugleiches, aber horizontal schwingendes Federpendel. Diese Vorstellung ist falsch, was sich sowohl experimentell als auch theoretisch zeigen lässt.
Zeitlicher Verlauf der Größen
Die Animation in Abb. 3 zeigt dir den zeitlichen Verlauf von Ort \(y\), Geschwindigkeit \(v\), Beschleunigung \(a\), Gewichtskraft \(F_{\rm{G}}\), Federkraft \(F_{\rm{F}}\), rücktreibende Kraft \(F_{\rm{rück}}\), kinetischer Energie \(E_{\rm{kin}}\), potentieller Energie \(E_{\rm{pot}}\) und Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) eines Feder-Schwere-Pendels in Abhängigkeit von den relevanten Parametern \(D\), \(m\) und \(x_0\). Diese Größen kannst du in gewissen Grenzen verändern und so deren Einfluss auf die Graphen beobachten.
Beachte: Der Ort \(y\) und die potentielle Energie \(E_{\rm{pot}}\) beziehen sich auf das in Abb. 2 eingeführte Koordinatensystem mit der Ruhelage des Feder-Schwere-Pendels als Nullpunkt. Bei \(y=0\) ist also ebenfalls \(E_{\rm{pot}}=0\). Allerdings ist bei \(y=0\) die Feder bereits um eine Strecke \(s_0=\frac{m \cdot g}{D}\) gespannt (vgl. Abb. 4). Die Spannenergie \(E_{\rm{Spann}}\) hat also bei \(y=0\) bereits den Wert \(E_{\rm{Spann}}=\frac{1}{2} \cdot D \cdot {s_0}^2\).
Beschreibung der relevanten Größen
Wie wir im Theorieartikel (Link am Ende dieses Artikels) zeigen, wird das zeitliche Verhalten aller relevanter Größen durch sogenannte trigonometrische Funktionen beschrieben. Es ergibt sich\[y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat y = {y_0}\;;\;{\omega} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[v(t) = - \hat v \cdot \sin \left( {{\omega} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat v = {y_0} \cdot {\omega} = {y_0} \cdot \sqrt {\frac{D}{m}} \]\[a(t) = - \hat a \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\;\;{\rm{mit}}\;\;\hat a = {y_0} \cdot {\omega}^2 = {y_0} \cdot \frac{D}{m}\]\[{F_{\rm{F}}}(t) = - \hat F \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right) \;\;{\rm{mit}}\;\;\hat F = D \cdot {y_0}\]\[{E_{{\rm{kin}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_0}^2 \cdot {\sin ^2}\left( {{\omega} \cdot t} \right)\]\[{E_{{\rm{Spann}}}}(t) = \frac{1}{2} \cdot D \cdot {y_0}^2 \cdot {\cos ^2}\left( {{\omega} \cdot t} \right)\]
Aufstellen und Lösen der Bewegungsgleichung
Im Folgenden werden wir die Bewegung des Feder-Schwere-Pendels mathematisch auf Basis des 2. Axioms von NEWTON (Aufstellen und dann Lösen der Gleichung \(F=m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F}{m}\; (*)\)) beschreiben. Hierzu machen wir die oben angegebenen vereinfachenden Annahmen:
- Die Bewegung des Pendelkörpers und der Feder verläuft reibungsfrei.
- Die Masse der Feder wird vernachlässigt.
- Der Betrag der Federkraft ist proportional zur Ausdehnung der Feder.
1. Einführen eines geeigneten Koordinatensystems
Wir wählen eine vertikales Koordinatensystem (\(y\)-Achse), dessen Nullpunkt in der Ruhelage des Feder-Schwere-Pendels liegt und das nach oben orientiert ist (vgl. Animation). In diesem Koordinatensystem gilt für die Beschleunigung als 2. Ableitung des Ortes nach der Zeit\[a = \ddot y(t) \quad (1)\] Da es sich um eine eindimensionale Bewegung handelt, brauchen wir den Vektorcharakter aller Größen nicht zu berücksichtigen; wir kennzeichnen lediglich durch Vorzeichen, ob eine Größe in (+) oder gegen (-) die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet ist.
2. Bestimmen der beschleunigenden Kraft \(F=F_{\rm{res}}\)
Da die Bewegung reibungsfrei verlaufen soll, wirken auf den Pendelkörper nur zwei Kräfte: Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\). Wir erhalten also \[F_{\rm{res}}=F_{\rm{G}} + F_{\rm{F}} \quad(2)\]
3. Bestimmen der beschleunigten Masse \(m\)
Da die Masse der Feder vernachlässigt werden kann, ist die beschleunigte Masse allein die Masse \(m\) des Pendelkörpers. Sie bleibt während der Schwingung konstant.
4. Konkretisieren der Bewegungsgleichung
Somit ergibt sich aus Gleichung \((*)\) mit (\(1)\) und (\(2)\)\[\ddot y(t) = \frac{F_{\rm{G}}+F_{\rm{F}}}{m}\quad (**)\]Nun analysieren wir schrittweise den Term auf der rechten Seite von Gleichung \((**)\).
Schritt 1
Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) ist stets gegen die Orientierung des Koordinatensystems gerichtet; es gilt also\[F_{\rm{G}} = - m \cdot g \quad (3)\]
Schritt 2
Wir stellen die Details zur Bestimmung der Federkraft beim Feder-Schwere-Pendel in der Animation in Abb. 4 genauer dar.
Wir hängen an die unbelastete Feder mit der Federkonstante \(D\) den Körper mit der Masse \(m\), auf den die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) wirkt. Dadurch dehnt sich die Feder so weit aus, bis die Federkraft \(\vec F_{\rm{F}}\) die Gewichtskraft kompensiert und Kräftegleichgewicht herrscht. Der Pendelkörper befindet sich nun in der Ruhelage \(y=0\), die Feder ist um die Strecke \(s_0\) ausgedehnt. In dieser Position gilt\[\begin{eqnarray}{F_{{\rm{F}},{{\rm{s}}_{\rm{0}}}}} &=& - {F_{\rm{G}}}\\D \cdot {s_0} &=& -( - m \cdot g) = m \cdot g\quad (4)\end{eqnarray}\]Wird der Pendelkörper aus der Ruhelage auf die Position \(y\) ausgelenkt, so ist die Feder um die Strecke \(s=s_0-y\) ausgedehnt (Beachte, dass bei \(y<0\) dann \(s=s_0-y>s_0\) ist). Bei einer Auslenkung des Pendelkörpers auf eine Position \(y\) gilt somit für die (stets positiv orientierte) Federkraft \(F_{\rm{F}}\)\[F_{\rm{F}} = D \cdot \left( {{s_0} - y} \right)\]Da diese Beziehung zu jedem Zeitpunkt \(t\) der Bewegung gilt, können wir statt \(y\) allgemeiner \(y(t)\) schreiben und erhalten\[F_{\rm{F}} = D \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right) \quad(5)\]Setzen wir \((3)\), \((5)\) und \((4)\) in \((**)\) ein, so erhalten wir\[\begin{eqnarray}\ddot y(t) &=& \frac{{{F_{\rm{G}}} + {F_{\rm{F}}}}}{m}\\&{\underbrace =_{(3),(5)}}&\frac{{ - m \cdot g + D \cdot \left( {{s_0} - y(t)} \right)}}{m}\\ &=& \frac{{ - m \cdot g + D \cdot {s_0} - D \cdot y(t)}}{m}\\&{\underbrace =_{(4)}}&\frac{{ - m \cdot g + m \cdot g - D \cdot y(t)}}{m}\\ &=& - \frac{D}{m} \cdot y(t)\end{eqnarray}\]Bringen wir noch alle Terme auf die linke Seite der Gleichung, so erhalten wir\[\ddot y(t) + \frac{D}{m} \cdot y(t) = 0\quad (***)\]Gleichung \((***)\) ist die Differentialgleichung zur Beschreibung des Feder-Schwere-Pendels.
5. Angeben der Anfangsbedingungen
Zum Zeitpunkt \(t = 0\) ist der Pendelkörper auf die Position \(y_0\) ausgelenkt und wird dort festgehalten (vgl. Animation in Abb. 1). Die Anfangsbedingungen lauten demnach \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\).
6. Lösen der Bewegungsgleichung
Die Bewegungsgleichung ist gelöst, wenn man eine Funktion \(y(t)\) gefunden hat, die die Gleichung \((***)\) und die beiden Anfangsbedingungen \(y(0)=y_0\) und \(\dot y(0) = v(0)= 0\) erfüllt. Als Lösung findet man die Funktion\[y(t) = {y_0} \cdot \cos \left( {{\omega} \cdot t} \right)\quad{\rm{mit}}\quad{\omega} = \sqrt {\frac{D}{m}} \]Diese Funktion beschreibt die Bewegung des Feder-Schwere-Pendels vollständig.
Wenn du an dieser mathematischen Aufgabe interessiert bist, kannst du dir die Herleitung einblenden lassen.
Gesucht ist eine Lösung von Gleichung \((***)\), d.h. eine Funktion \(y(t)\), deren zweite Ableitung nach der Zeit \(\ddot y(t)\) entgegengesetzt proportional zur Funktion \(y(t)\) ist. Dies trifft sowohl auf die Sinus- als auch auf die Kosinusfunktion zu. Wegen der Anfangsbedingung \(y(0)=y_0\ne 0\) kommt wegen \(\sin (0) = 0\) hier nur die Kosinusfunktion als Lösung in Betracht. Wir setzen also an mit der allgemeinen Kosinusfunktion\[y(t) = \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]und müssen nun die Größen \(\omega\) und \(\hat y\) bestimmen.
Zur Bestimmung von \(\omega\) bilden wir zuerst die 1. Ableitung nach der Zeit\[\dot y(t) = - \hat y \cdot \omega \cdot \sin \left( {\omega \cdot t} \right)\]und dann die 2. Ableitung nach der Zeit\[\ddot y(t) = - \hat y \cdot {\omega^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right)\]und setzen die Funktion und die 2. Ableitung in Gleichung \((***)\) ein. Dann erhalten wir\[\begin{eqnarray} - \hat y \cdot {\omega^2} \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) + \frac{{D}}{m} \cdot \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) &=& 0\\ - \hat y \cdot \cos \left( {\omega \cdot t} \right) \cdot \left[ {{\omega^2} - \frac{{D}}{m}} \right] &=& 0\end{eqnarray}\]Die linke Seite dieser Gleichung ist nur dann immer \(0\), wenn\[{{\omega^2} - \frac{{D}}{m} = 0 \Rightarrow \omega = \sqrt {\frac{{D}}{m}} }\]Zur Bestimmung von \(\hat y\) nutzen wir die erste Anfangsbedingung \(y(0) = {y_0}\). Damit diese Bedingung erfüllt ist, muss gelten\[y(0) = {y_0} \Rightarrow \hat y \cdot \underbrace {\cos \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;1} = {y_0} \Rightarrow \hat y = {y_0}\]Auch die zweite Anfangsbedingung \(v(0)=\dot y(0) = 0\) muss erfüllt sein. Dies ist wegen\[v(0)=\dot y(0) = - \hat y \cdot \omega \cdot \underbrace {\sin \left( {\omega \cdot 0} \right)}_{ = \;0} = 0\]ebenfalls der Fall.