Kreisbewegung

Aufbau und Durchführung

In einer halbkreisförmig aufgebauten Rinne befinden sich zunächst zwei Kugeln gleicher Masse. Diese Anordnung kannst du mithilfe eines Motors mit variabler Drehzahl in Rotation versetzen. Dabei beobachtest du die Position der beiden Kugeln in Abhängigkeit von der Rotationsgeschwindigkeit, also der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\).

In einem zweiten Teilversuch platzierst du zwei Kugeln unterschiedlicher Massen in der Rinne. Du versetzt die Anordnung wiederum in Rotation und beobachtest die Position der beiden Kugeln.

Durchführung und Erklärung im Video

Beobachtung

Die Kugeln bewegen sich mit zunehmender Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) immer weiter nach außen bzw. oben. In Teilversuch 2 befinden sich auch die unterschiedlich schweren Kugeln immer in gleicher Höhe \(h\) über der Ausgangslage. Die Masse \(m\) der Kugel hat also keinen Einfluss auf die Steighöhe.

Erklärung

Auf die Kugel wirken die Gewichtskraft \({{\vec F}_{\rm{G}}}\) und die Normalkraft \({{\vec F}_{\rm{N}}}\) der Rinne, die immer senkrecht zur Unterlage gerichtet ist. Wird die Rinne nun in Rotation versetzt, so bewirkt die Trägheit der Kugelmasse, dass die Kugel sich nach außen bewegt, bis Gewichtskraft und Normalkraft zusammen eine resultierende Zentripetalkraft \({{\vec F}_{\rm{ZP}}}\) bewirken, die senkrecht zur Rotationsachse (also waagerecht) und auf die Achse zu gerichtet ist. Diese Zentripetalkraft hat keine nach oben oder unten gerichtete Komponente mehr und hält nur die Kugel auf der Kreisbahn.

Für \(\tan(\alpha)\) gilt in diesem Fall \[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{F_{\rm{G}}}}}{{{F_{{\rm{ZP}}}}}} = \frac{{m \cdot g}}{{m \cdot {\omega ^2} \cdot r}} = \frac{g}{{{\omega ^2} \cdot r}}\quad (1)\] Dass sich die Masse \(m\) der Kugel in Gleichung (1) gerade herauskürzt, erklärt, warum im zweiten Teilversuch auch die Kugeln mit unterschiedlicher Masse auf gleiche Höhe steigen.

Bestimmung der Höhe \(h\)

Mithilfe geometrischer Überlegungen lässt sich weiter auch die Höhe \(h\) in Abhängigkeit von der Winkelgeschwindigkeit \(\omega\) und vom Radius der Rinne \(R\) bestimmen, in welche die Kugeln steigen. Aus den geometrischen Überlegungen folgt für \(\tan(\alpha)\) \[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{R - h}}{r}\quad (2)\] Gleichsetzen der beiden Gleichungen (1) und (2) führt zu \[\frac{g}{{{\omega ^2} \cdot r}} = \frac{{R - h}}{r} \Leftrightarrow \frac{g}{{{\omega ^2}}} = R - h \Leftrightarrow h = R - \frac{g}{{{\omega ^2}}}\]

\(h\) kann selbstverständlich nicht kleiner als 0 sein! Für \(R - \frac{g}{{{\omega ^2}}} \le 0\) geht die Kugel in die Null-Lage und nur falls \({\omega ^2} > \frac{g}{R}\) gibt es eine stabile Lage unterschiedlich der Null-Lage.

Anmerkung: Man kann auch im rotierenden Bezugssystem mit Hilfe der Zentrifugalkraft argumentieren und aus der Zentrifugalkraft und der Gewichtskraft vektoriell eine Kraft addieren, die senkrecht zur Unterlage der Bodendruckkraft das Gleichgewicht hält.