Atomaufbau

In der folgenden - stark vereinfachenden - Modellrechnung wird das exponentielle Schwächungsgesetz theoretisch hergeleitet. Darüber hinaus ist eine mikroskopische Deutung des Absorptionskoeffizienten \(\alpha\) möglich.

Der Kreis mit dem Radius \({r_{\rm{A}}}\) veranschaulicht den Querschnitt eines Atoms in der Metallfolie. Die Kreise mit \({r_{\rm{G}}}\) stellen die Querschnitte von Geschossen dar. Ein Geschoss tritt mit dem Atom dann in Wechselwirkung (Vereinfachung: nur kurzreichweitige Wechselwirkung), wenn es in die gestrichelt dargestellte Kreisscheibe mit \(r = {r_{\rm{A}}} + {r_{\rm{G}}}\) trifft. Die Fläche dieser Kreisscheibe bezeichnet man als Wirkungsquerschnitt \(\sigma \), d.h. es gilt
\[\sigma  = \pi  \cdot {\left( {{r_{\rm{A}}} + {r_{\rm{G}}}} \right)^2}\].

Weiter wird angenommen, dass die Atome der durchstrahlten Schicht mit der Dicke \(\Delta x\) einen festen Platz einnehmen und so verteilt sind, dass sich ihre Querschnitte in Bezug auf die Strahlrichtung nicht überdecken.

Es werde nun eine Schicht der Dicke \(\Delta x\) mit der Querschnittsfläche \(A\) durchstrahlt. Die Zahl der Atome in diesem Volumenelement sei \(Z\). Für die Wahrscheinlichkeit \(p\), dass ein Geschoss mit einem Atom zusammenstößt gilt dann
\[p = \frac{{{\rm{Fläche}}\;{\rm{aller}}\;{\rm{Atome}}\;{\rm{in}}\;{\rm{der}}\;{\rm{Schicht}}}}{{{\rm{Querschnittsfläche}}\;{\rm{der}}\;{\rm{Schicht}}}} = \frac{{Z \cdot \sigma }}{A} = \frac{{Z \cdot \pi  \cdot {{\left( {{r_{\rm{A}}} + {r_{\rm{G}}}} \right)}^2}}}{A}\]
Bezeichnet man die Teilchenzahldichte der Atome im Folienmaterial mit \(z\) mit \(\left[ z \right] = \frac{1}{{{{\rm{m}}^3}}}\), so gilt
\[p = \frac{{z \cdot A \cdot \Delta x}}{A} \cdot \pi  \cdot {\left( {{r_{\rm{A}}} + {r_{\rm{G}}}} \right)^2} = z \cdot \Delta x \cdot \sigma \]
Werden nun \(N(x)\) Geschosse auf eine Schicht der Dicke \(\Delta x\) und der Fläche \(A\) in der Tiefe \(x\) geschossen, so nimmt die Zahl der ungestreuten Geschoße um \(\Delta N = N(x) - N(x + \Delta x)\) ab. Die Zahl der aus dem Strahl herausgestreuten Geschosse ist proportional zur Zahl der ankommenden Teilchen. Es gilt also
\[\Delta N = N(x) - N(x + \Delta x) = p \cdot N(x) = z \cdot \sigma  \cdot \Delta x \cdot N(x)\]
Hieraus ergibt sich
\[\frac{{N(x) - N(x + \Delta x)}}{{\Delta x}} = z \cdot \sigma  \cdot N(x) \Leftrightarrow \frac{{N(x + \Delta x) - N(x)}}{{\Delta x}} =  - N(x) \cdot z \cdot \sigma  \Leftrightarrow \frac{{\Delta N}}{{\Delta x}} =  - N(x) \cdot z \cdot \sigma \]
Für sehr kleine \(\Delta x\) kann man \(\frac{{\Delta N}}{{\Delta x}}\) durch \(\frac{{dN}}{{dx}}\) ersetzen. Setzt man in die letzte Beziehung ein, so ergibt sich
\[\frac{{dN}}{{dx}} =-N \cdot z \cdot \sigma  \Leftrightarrow \frac{1}{N} \cdot dN =-z \cdot \sigma  \cdot dx \Leftrightarrow \int {\frac{1}{N} \cdot dN}  = \int {-z \cdot \sigma  \cdot dx}  \Leftrightarrow \ln \left( N \right) =-z \cdot \sigma  \cdot x + C \Leftrightarrow N = {e^{-z \cdot \sigma  \cdot x + C}} = {e^{-z \cdot \sigma  \cdot x}} \cdot {e^C}\]
Die Integrationskonstante \(C\) kann aus der Nebenbedingung: \(N(x = 0) = N_0\) berechnet werden; es ergibt sich \({e^C} = {N_0}\). Somit ergibt die stark vereinfachte Modellrechnung ein Ergebnis, das LENARD auch im Experiment feststellen konnte:
\[N(x) = {N_0} \cdot {e^{-z \cdot \sigma  \cdot x}}\]
Ein Vergleich mit der auf der Hauptseite angegebenen Exponentialfunktion zeigt, dass man für den Absorptionskoeffizienten \(\alpha\) schreiben kann
\[\alpha  = z \cdot \sigma  \Leftrightarrow \sigma  = \frac{\alpha }{z}\]
Hieraus sieht man, dass eine Messung des Absorptionskoeffizienten eine Aussage über den Wirkungsquerschnitt zulässt.

Für langsame Elektronen ergaben die Messungen Lenards einen Wert, der dem durch die kinetische Gastheorie vorhergesagten Atomquerschnitt entspricht (ca. \({10^{ - 19}}{{\rm{m}}^2}\)). Für sehr hohe Elektronengeschwindigkeiten fällt \(\sigma \) um viele Zehnerpotenzen. Die effektive Streufläche eines Atoms hat z.B. für Elektronen mit ca. 10% der Lichtgeschwindigkeit nur noch ca. ein Millionstel des gaskinetischen Querschnitts.