BOHRsches Atommodell

Nach dem BOHRschen Modell des H-Atoms wirkt auf der \(n\)-ten Quantenbahn die Coulombkraft \(F_{\rm{C}}\) als Zentripetalkraft \(F_{{\rm{ZP}}}\), d.h.\[{F_{\rm{C}}} = {F_{{\rm{ZP}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = {{m_{\rm{\mu }}}} \cdot \frac{{{v_n}^2}}{{{r_n}}} \quad(1)\]Weiter gilt nach dem BOHRschen Postulat\[2 \cdot \pi  \cdot {r_n} \cdot {m_{\rm{\mu }}} \cdot {v_n} = n \cdot h \quad(2)\]Kombiniert man \((1)\) und \((2)\), so erhält man\[\frac{1}{{4 \cdot \pi  \cdot {\varepsilon _0}}} \cdot \frac{{{Z \cdot e^2}}}{{{r_n}^2}} = \frac{{{n^2} \cdot {h^2}}}{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {m_{\rm{\mu }}} \cdot {r_n}^3}} \Leftrightarrow {r_n} = \frac{{{h^2} \cdot {\varepsilon _0}}}{{\pi  \cdot Z \cdot {e^2} \cdot {m_{\rm{\mu }}}}} \cdot {n^2} \]

Aus der Formelsammlung kann man für die Gesamtenergie des Elektrons im \(n\)-ten Quantenzustand des Wasserstoffatoms entnehmen\[E_{\rm{n,e}} =  - \frac{{{R_\infty } \cdot h \cdot c}}{{{n^2}}}\]mit\[{R_\infty } = \frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^3} \cdot c}}\]Hieraus folgt\[E_{\rm{n,e}} = -\frac{{{e^4} \cdot {m_e}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} = -13,6{\rm{eV}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}}\]Ersetzt man nun \({m_{\rm{e}}}\) durch \({m_{\rm{\mu }}}\) und \({{e^2}}\) durch \(Z \cdot {e^2}\) und somit \({e^4}\) durch \({Z^2} \cdot {e^4}\), so geht die obige Energieformel für das Elektron in die Energieformel für das Myon in einem Kern mit der Ladung \(Z \cdot e\) über in die Form\[{E_{{\rm{n,\mu }}}} = -\frac{{{Z^2} \cdot {e^4} \cdot {m_{\rm{\mu }}}}}{{8 \cdot {\varepsilon _0}^2 \cdot {h^2}}} \cdot \frac{1}{{{n^2}}} = -13,6{\rm{eV}} \cdot 207 \cdot \frac{{{Z^2}}}{{{n^2}}}\]