Ein Bogenschütze wurde mit einer Hochgeschwindigkeitskamera gefilmt. Mithilfe einer Videoanalysesoftware wurde in jedem Bild die Position des Pfeilendes markiert.
Wir betrachten zuerst die Flugphase des Pfeils.
a)
Erläutere anhand des Bildes, dass der Pfeil zu Beginn beschleunigt und sich nach Verlassen der Sehne mit konstanter Geschwindigkeit weiter bewegt. ( Tipp: Vergleiche die Abstände der Punkte untereinander.)
b)
Bestimme anhand des hier dargestellten Bildes die Durchschnittsgeschwindigkeit des Pfeils in der Flugphase.
Nun betrachten wir die Beschleunigungsphase des Pfeils.
c)
Erläutere die Energieumwandlungen beim Schießen des Pfeils.
d)
Zeichne anhand der Bilder für die Beschleunigungsphase des Pfeils ein \(t\)-\(s\)-Diagramm und ein \(t\)-\(v\)-Diagramm.
e)
Bestimme die Beschleunigung des Pfeils durch die Sehne unter der Annahme einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
Gib die Beschleunigung als ein Vielfaches der Erdbeschleunigung an.
Die hier dargestellte Aufnahme wurde mit einem Smartphone aufgenommen, das eine Bildfrequenz von \({\rm{240}}\frac{{{\rm{Bilder}}}}{{\rm{s}}}\) besitzt.
Abb. 2 Beschleunigungsvorgang in Zeitlupe. Es wurde mit 240 Bildern pro Sekunde aufgezeichnet.
f)
Zeige rechnerisch, dass eine Aufnahme unter \({\rm{30}}\frac{{{\rm{Bilder}}}}{{\rm{s}}}\) nicht genügen würde, um die Beschleunigungsphase aufzuzeichnen.
g)
Plane ein Experiment, mit dem sich die Dehnungskonstante der Sehne des Bogens bestimmen lässt.
h)
Bestimme mithilfe der Energieerhaltung die Geschwindigkeit des Pfeils nach dem Verlassen der Sehne. Verwende dabei eine Dehnungskonstante \(D = 192\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\) und eine Masse des Pfeils von \(m = 30{\rm{g}}\). Die Auslenkung \(s\) der Sehne gegenüber dem Bogen kannst du hier dem Bild entnehmen.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Auslenkung der Sehne
Begründe den Unterschied zur berechneten Geschwindigkeit aus Teilaufgabe b).
i)
Aufgaben zur Vertiefung:
Erstelle ein \(t\)-\(s\)-Diagramm und ein \(t\)-\(v\)-Diagramm der gesamten abgebildeten Beschleunigungs- und Flugphase.
Beschreibe die Bewegung des Pfeils.
Erkläre, warum die Geschwindigkeit in der Flugphase abnimmt.
Bei der Beschleunigungsphase des Pfeils werden die Abstände zwischen den Positionsmarkierungen immer größer. Dies zeigt die Geschwindigkeitszunahme des Pfeils. In der Flugphase, nach dem Verlassen der Sehne, bleiben die Abstände der Positionsmarkierungen ungefähr gleich groß. Es werden also in gleichen Zeiten gleiche Strecken zurückgelegt und die Geschwindigkeit bleibt ungefähr konstant.
b)
Dem Bild lässt sich entnehmen, dass der Pfeil in den letzten vier Bildern eine Strecke von \(\Delta s = 0,75{\rm{m}}\) zurück legt. Die Zeit hierfür erhält man aus der im Bild angezeigten Bildfrequenz von \({\rm{240}}\frac{{{\rm{Bilder}}}}{{\rm{s}}}\) \[\Delta t = 4 \cdot \frac{1}{{240}}{\rm{s}} = \frac{1}{{60}}{\rm{s}}\] Der Pfeil besitzt somit eine Durchschnittsgeschwindigkeit von \[v = \frac{{\Delta s}}{{\Delta t}} \Rightarrow v = \frac{{0,75 {\rm{m}}}}{{\frac{1}{{60}}{\rm{s}}}} = 45\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
c)
Chemische Energie des Schützen wird in Bewegungsenergie zum Spannen der Sehne und damit in Spannenergie umgewandelt. Ein großer Teil der Spannenergie des Bogens wird dann in Bewegungsenergie des Pfeils umgewandelt.
d)
Die Diagramme zeigen einen annähernd quadratischen Anstieg der zurückgelegten Strecke und einen annähernd linearen Anstieg der Geschwindigkeit - beides Kennzeichen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung.
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Diagramme
e)
Anhand der Bildanalyse lässt sich eine Geschwindigkeit von \(45\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) beim Verlassen der Sehne bestimmen. Die Sehne wird um eine Strecke \(s=0,5\rm{m}\) ausgelenkt. Somit erhält man \[\left. \begin{array}{l}s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {t^2}\\v = a \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{v}{a}\end{array} \right\} \Rightarrow s = \frac{1}{2} \cdot a \cdot {\left( {\frac{v}{a}} \right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v^2}}}{a} \Leftrightarrow a = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{v^2}}}{s} \Rightarrow a = \frac{1}{2} \cdot \frac{{{{\left( {45 \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{0,50{\rm{m}}}} = 2025\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\] Die Beschleunigung beträgt demnach ungefähr das \(\frac{{2025\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}{{10\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} \approx 200\)-fache der Erdbeschleunigung.
f)
Bei der Highspeedaufnahme wurden sieben Bilder vom Beschleunigungsvorgang aufgezeichnet. Mit einer Bildfrequenz von \({\rm{240}}\frac{{{\rm{Bilder}}}}{{\rm{s}}}\) erhält man eine Zeit für den Beschleunigungsvorgang von \(\Delta t = 7 \cdot \frac{1}{{240}}{\rm{s}} \approx \frac{1}{{34}}{\rm{s}}\). Eine Kamera, die eine geringere Frequenz als \({\rm{30}}\frac{{{\rm{Bilder}}}}{{\rm{s}}}\) besitzt, kann damit nicht mehr als ein Bild aufnehmen.
g)
Mögliche Lösungen:
Mithilfe eines Kraftmessers lässt sich ein \(s\)-\(F\)-Diagramm bestimmen und über eine Ausgleichsgerade die Dehnungskonstante annähern.
Massen werden an die Sehne gehangen und analog zu 1. aus einem \(s\)-\(F_{\rm{G}}\)-Diagramm die Dehnungskonstante bestimmt.
Hinweis: Die Dehnungskonstante \(D\) eines Einsteigerbogens beträgt ungefähr \(192\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}\).
h)
Unter der Annahme, dass die Spannenergie \({E_{{\rm{Spann}}}}\) des Bogens vollständig in Bewegungsenergie \({E_{{\rm{kin}}}}\) des Pfeils übertragen wird, gilt \[{E_{{\rm{Spann}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot D \cdot {s^2} = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {\frac{D}{m}} \cdot s\] Messen wir für die Strecke \(s = 0,80{\rm{m}}\), so ergibt sich \[v = \sqrt {\frac{{192\frac{{\rm{N}}}{{\rm{m}}}}}{{0,030{\rm{kg}}}}} \cdot 0,80{\rm{m}} = 64\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\] Die in Aufgabenteil b) gemessene Geschwindigkeit ist kleiner als die hier berechnete, da nicht die gesamte Spannenergie in Bewegungsenergie umgewandelt wird.
i)
Die Inhalte dieser Aufgabe wurden teilweise schon in früheren Teilaufgaben andiskutiert.
Die zu erstellenden Diagramme sind bereits in Teilaufgabe d) dargestellt.
Nach der Spannphase wird der Pfeil losgelassen. Während der Pfeil noch die Sehne berührt, wird er durch die Umwandlung von Spannenergie in kinetische Energie beschleunigt. Sobald die Sehne nicht mehr den Pfeil berührt, fliegt er (theoretisch) mit unveränderter Geschwindigkeit weiter. Das erkennt man auch in den beiden Diagrammen: im \(t\)-\(s\)-Diagramm wächst die Strecke am Ende linear, im \(t\)-\(v\)-Diagramm erreicht die Geschwindigkeit einen Maximalwert, der konstant bleibt.
Der Pfeil wird während des Flugs immer langsamer. Dies liegt vor allem an der Luftreibung. Da der Pfeil in der Flugphase nicht weiter beschleunigt wird, gibt es keine Kraft, die der Luftreibung entgegenwirkt und deren bremsende Wirkung ausgleichen kann. Folglich verliert der Pfeil an Geschwindigkeit und wird langsamer.
