Die Bewegung eines Fadenpendels wird - wie bei allen Schwingungen - durch eine rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) verursacht, die auf den Pendelkörper in Richtung der Ruhelage wirkt. Die Erklärung dieser rücktreibenden Kraft kann auf drei verschiedene Arten erfolgen, die wir hier vorstellen wollen.
Herleitung der rücktreibenden Kraft über Kräftezerlegung
Im Grundwissen haben wir - wie es in der Schule meistens auch gemacht wird - die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) über die Zerlegung der Gewichtskraft in eine Tangential- und eine Normalkomponente beschrieben.
Wenn du in der Simulation in Abb. 1 die Checkbox "Größen" wählst, so kannst du sehen, wie sich die rücktreibende Kraft durch die Zerlegung der Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) in eine Komponente \(\vec F_{\rm{G,nor}}\) normal zur Bahn, also senkrecht zur Bewegungsrichtung, und eine Komponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) tangential zur Bahn, also in Bewegungsrichtung des Pendelkörpers, zerlegen lässt. Die Komponente \(\vec F_{\rm{G,nor}}\) wird durch den Faden kompensiert, die Komponente \(\vec F_{\rm{G,tan}}\) wirkt als rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\).
Häufig wird fälschlicherweise behauptet, dass die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) beim Fadenpendel die vektorielle Summe aus Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und Fadenkraft sei. Hierbei wird übersehen, dass der Faden nicht nur die Komponente der Gewichtskraft normal zur Bahn aufbringen muss, sondern zusätzlich noch die Zentripetalkraft zum Erzwingen der Kreisbahn.
Die Kräfteverhältnisse beim Fadenpendel sind also etwas komplizierter als im Grundwissen angesprochen. Wir wollen sie in den nächsten beiden Abschnitten sowohl aus einem ruhenden als auch aus einem mitbewegten Bezugssystem genauer betrachten.
Herleitung der rücktreibenden Kraft über Kräfteaddition im ruhenden Bezugsystem
Die Simulation in Abb. 2 zeigt die Kräfte, die auf den Pendelkörper wirken, aus einem ruhenden Bezugssystem. In diesem Bezugssystem wirken auf den Pendelkörper nur die Gewichts- und die Fadenkraft.
Wenn du in der Simulation die Checkbox "Größen" wählst, so kannst du sehen, wie sich die Bewegung des Fadenpendels durch die Addition von Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) und Fadenkraft \(\vec F_{\rm{Fad}}\) ergibt.
Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) (grün) ist dabei stets nach unten Richtung Erdoberfläche gerichtet, die Fadenkraft \(\vec F_{\rm{Fad}}\) (blau) immer in Richtung des Aufhängepunktes. Wenn du die Simulation startest kannst du aber beobachten, dass sich nicht nur die Richtung, sondern auch der Betrag der Fadenkraft ständig ändert. Der Grund hierfür ist, dass der Faden nicht nur die Gewichtskraft kompensieren muss, sondern zusätzlich noch die Zentripetalkraft zum Erzwingen der Kreisbahn aufbringen muss. Die resultierende Kraft \(\vec F_{\rm{res}}\) (violett) aus Gewichts- und Fadenkraft ist deshalb nicht in Bewegungsrichtung, sondern etwas stärker Richtung Aufhängepunkt gerichtet. Sie bewirkt nun sowohl die grundsätzliche Bewegung des Pendelkörpers auf der Kreisbahn als auch die Beschleunigung des Pendelkörpers in Bahnrichtung.
Dies wird deutlich, wenn man die resultierene Kraft \(\vec F_{\rm{res}}\) in eine Komponente \(\vec F_{\rm{res,nor}}\) normal zur Bahn, also senkrecht zur Bewegungsrichtung, und eine Komponente \(\vec F_{\rm{res,tan}}\) tangential zur Bahn, also in Bewegungsrichtung des Pendelkörpers zerlegt: die erste Komponente wirkt als Zentripetalkraft \(\vec F_{\rm{ZP}}\) (gelb), die zweite Komponente als rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) (rot).
Das Zusammenwirken und Zerlegen der verschiedenen Kräfte in einem ruhenden Bezugssystem ist nicht ganz leicht zu durchschauen. Einfachen wird dies in einem Bezugssystem, das sich mit dem Pendelkörper mitbewegt.
Herleitung der rücktreibenden Kraft über Kräfteaddition im mitbewegten Bezugsystem
Die Simulation in Abb. 3 zeigt nun die Kräfte, die auf den Pendelkörper wirken, aus einem Bezugssystem, das sich mit dem Pendelkörper mitbewegt. In diesem Bezugssystem wirkt zusätzlich auf den Pendelkörper, der sich ja auf einer Kreisbahn bewegt, die Zentrifugalkraft, die mit berücksichtigt werden muss.
Wenn du die Checkbox "Größen" wählst, so kannst du sehen, wie sich die Bewegung des Fadenpendels durch die Addition von Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) (grün), Fadenkraft \(\vec F_{\rm{Fad}}\) (blau) und Zentrifugalkraft \(\vec F_{\rm{ZF}}\) (gelb) ergibt.
Die Gewichtskraft \(\vec F_{\rm{G}}\) ist dabei wieder stets nach unten Richtung Erdoberfläche gerichtet, die Fadenkraft \(\vec F_{\rm{Fad}}\) immer in Richtung des Aufhängepunktes und die Zentrifugalkraft \(\vec F_{\rm{ZF}}\) normal zur Bewegungsrichtung nach außen. Wenn du die Simulation startest kannst du beobachten, dass sich sowohl der Betrag der Zentrifugalkraft als auch der Betrag der Fadenkraft abhängig von der Geschwindigkeit des Pendelkörpers ständig ändert. Die resultierende Kraft aus Gewichts-, Faden- und Zentrifugalkraft ist die rücktreibende Kraft \(\vec F_{\rm{rück}}\) (rot).