Weltbilder, KEPLERsche Gesetze

Mechanik

Weltbilder, KEPLERsche Gesetze

  • Wussten die alten Griechen, dass sich die Erde um die Sonne dreht?
  • Warum sprechen wir von der Kopernikanische Revolution?
  • Nach welchen Gesetzen bewegen sich die Planeten?

geozentrisches Weltbild
Abb.
1
Geozentrisches Weltbilld mit der Erde im Mittelpunkt des Universums
Ingolf Sauer

Die griechischen Philosophen, unter ihnen die wesentlichen Repräsentanten ARISTOTELES und PTOLEMÄUS nahmen an, dass sämtliche Himmelskörper auf durchsichtigen Kristallkugeln befestigt sind, die sich in idealen Kreisbewegungen mit unterschiedlicher aber konstanter Winkelgeschwindigkeit bewegen. Dabei gab es primäre Kristallkugeln, deren gemeinsamer Mittelpunkt die Erde ist und deren gegenseitige Lage die Grafik in Abb. 1 nicht maßstabsgerecht und nicht vollständig zeigt.

Mit dem oben beschriebenen, sehr einfachen - Modell konnte jedoch nicht verstanden werden, warum Planeten (sehr deutlich Mars und Venus) Schleifenbahnen vor dem Sternenhintergrund durchführen, bei denen sich ihre normale Bewegung von West nach Ost vor dem Sternenhintergrund auch einmal umkehrt (retrograde Bewegung). Dieses Phänomen ist am Beispiel der scheinbaren Bewegung des Mars in der Animation in Abb. 2 dargestellt.

Auch die periodischen Helligkeitsschwankungen der Planeten waren dadurch nicht zu erklären.

2 Rückläufige (retrogerade) Bewegung des Mars am Sternenhimmel

Die Epizyklenbewegung und die Planetenbewegung

epizyklenbewegung und die planetenbewegung
Abb.
3
einfacher Epizyklus

Diese beiden wohlbekannten Phänomene der Planetenbewegung lösten die griechischen Astronomen (insbesondere EUDOXOS hatte hier große Verdienste), indem sie sekundäre Kristallkugeln einführten, an denen der Planet befestigt war und die um einen festen Punkt der primären Kugel kreisten, der seinerseits mit fester Winkelgeschwindigkeit um die Erde kreist. Auf diese Weise ergaben sich insgesamt 55 Kristallkugeln. Diese Kreise wurden Epizyklen genannt und die konzentrischen Sphären, an denen sie aufgehängt waren, nannte man Deferenten (Trägerkreise).

Mit Hilfe der Epizyklenbewegung und der Projektion der Beobachtungsrichtung auf den Sternenhintergrund lassen sich die Schleifenbahnen erklären, wie die Animation in Abb. 4 zeigt.

4 Erklärung der Schleifenbahnen mit Hilfe der Epizyklenbewegung und der Projektion der Beobachtungsrichtung auf den Sternenhintergrund

epizyklenbewegung x2 und die planetenbewegung
Abb.
5
Doppelter Epizyklus

Manchmal reichte zur exakten Bahnbeschreibung ein Epizyklus nicht aus und es wurde deshalb ein Epizyklus auf dem Epizyklus angebracht, wie nebenstehende Graphik verdeutlicht. Das Verdienst von PTOLEMÄUS ist es, durch viele "geometrische Tricks" (z.B. auch Verlagerung des Mittelpunkts des Trägerkreises aus dem Erdmittelpunkt) die Vorhersagen des Modells an die Beobachtungsdaten anzupassen.

Geozentrisches Weltsystem

Die Erde ist der Mittelpunkt der Welt (geozentrisches System)

Das kugelförmige Himmelsgewölbe dreht sich mit den daran befestigten Sternen von Osten nach Westen täglich einmal mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die Erde.

Sonne, Mond und die Planeten machen die tägliche Drehung von Ost nach West mit, sie führen aber außerdem noch weitere komplizierte Bewegungen aus.

Die Sonne umkreist die Erde in ein Jahr.

Die Ebene, in der die Sonne kreist heißt Ekliptik. Die Ekliptikebene bildet mit der Äquatorebene des Himmelsgewölbes einen Winkel von 23,5°. In der Ekliptikebene kreisen auch der Mond und die Planeten.

Der Mond läuft auf einer Kreisbahn um die Erde.

Die Planeten bewegen sich auf Epizyklen, deren Mittelpunkte auf Deferenten um die Erde laufen (im einfachsten Modell).

Die Himmelskörper sind aus perfektem Material (quinta essentia), das seine vorgegebenen Eigenschaften (z.B. die Helligkeit) nicht ändert.

Diese Annahmen sind aus heutiger Sicht nicht richtig. Bei der damaligen begrenzten Beobachtungsgenauigkeit war das geozentrische Modell von PTOLEMÄUS jedoch gut in der Lage die Planetenpositionen vorherzusagen. Erst genauere Messmethoden zeigten, dass Kreisbahnen die Wirklichkeit nicht genau genug beschrieben. Nicht die Frage, der geozentrischen oder heliozentrischen Anschauung gab den Ausschlag zu Gunsten der späteren, KEPLERschen Berechnungsmethode sondern die Annahme, dass die Planeten sich auf Ellipsen mit veränderlicher Geschwindigkeit und nicht auf Kreisen mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag bewegen.

Kopernikus schrieb in seinem Buch "DE REVOLUTIONIBUS ORBIUM COELESTIUM", dass der Mittelpunkt der Welt in der Nähe der Sonne sei. Das Buch erschien erst mit seinem Tod.

Die Abkehr vom geozentrischen Weltbild brachte zunächst vor allem eine Vereinfachung der Rechnung. Auch KOPERNIKUS kam noch nicht ohne Epizyklen aus, da er immer noch von Kreisbahnen und nicht von Ellipsen ausging. Die Zahl der Sphären reduzierte sich aber in seinem Modell erheblich. Außerdem konnte KOPERNIKUS die Umlaufdauern der Planeten ohne den Großen Aufwand des ptolemäischen Systems verstehen.

In der nebenstehenden Skizze siehst du die vereinfachte Planentenanordnung im sogenannten kopernikanischen System.

Die Erklärung der in der Animation in Abb. 2 dargestellten Schleifenbewegung der Planeten (retrogarade Bewegung) konnte KOPERNIKUS wesentlich nachvollziehbarer erklären als PTOLEMÄUS und dessen Vorgänger.

2 Rückläufige (retrogerade) Bewegung des Mars am Sternenhimmel

Das heliozentrische System erklärte auf sehr einfache Art einerseits die Schleifenbewegung der Planeten vor dem Sternenhintergrund und auch die Helligkeitsschwankungen der Planeten ist durch die unterschiedlichen Entfernungen zu erklären.

3 Erklärung der Schleifenbahnen durch die Bewegungen der Planeten um die Sonne und der Projektion der Beobachtungsrichtung auf den Sternenhintergrund

Wichtige Eigenschaften des kopernikanischen (heliozentrischen) Weltbildes:

  1. Der Mittelpunkt der Welt ist in der Nähe der Sonne.
  2. Die Fixsternspäre ist fest. Die Fixsterne ruhen in sehr großer Entfernung.
  3. Die Erde ist ein Planet, der einmal im Jahr um die Sonne läuft.
  4. Um die tägliche Bewegung der Sonne verstehen zu können, muss man eine tägliche Erdrotation um ihre Achse annehmen.
  5. Der Erdmond läuft auf einer Kreisbahn um die Erde.
  6. Alle Planeten bewegen sich nahezu in einer gemeinsamen Ebene, der Ekliptik.
  7. Die Rotationsachse der Erde bildet mit der Normalen (Senkrechten) auf die Ekliptik einen Winkel von 23,5°.
  8. Die Neigung der Rotationsachse der Erde bleibt während des Umlaufs um die Sonne gleich. Dadurch kommt es z.B. zur Ausbildung von Jahreszeiten auf der Nordhalbkugel.
4 Bewegung der Erde um die Sonne und Rotation der Erde um die Erdachse

Heliozentrisch oder Geozentrisch

Die Idee des Kopernikus war nicht neu. Auch Aristarch von Samos hat bereits 200 vor Christus das heliozentrische System gefordert. Aber der Einfluss von Aristoteles war so stark und manche "Erfahrung" sprach dagegen:

  1. Wenn die Erde um eine Achse dreht (was das heliozentrische System fordert), warum können sich dann Gegenstände auf der Erde halten und werden nicht weggeschleudert wie bei anderen Kreisbewegungen?
  2. Wenn die Erde um die Sonne kreist, warum bleiben dann die in der Luft fliegenden Vögel nicht zurück?
  3. Warum bleiben die Sterne stets an ihrem Platz, obwohl die Erde um die Sonne fliegt. Durch diese weiträumige Bewegung der müsste doch eine jahreszeitlich sich wiederholende gegenseitige Verschiebung der Fixsterne ergeben, da sich die Perspektive ändert? Dieser Parallaxe genannte Effekt war seinerzeit mangels geeigneter Fernrohre noch nicht beobachtbar. Heute bestimmt man aus dieser Parallaxe von wenigen Bogensekunden den Abstand der nahen Fixsterne.

 

Prentice Hall bietet ein JAVA-Applet an, welches sehr schön die Entstehung der Jahreszeiten aufgrund der Neigung der Erdachse gegenüber der Ekliptik (Ebene in welcher sich die Erde um die Sonne bewegt) zeigt.

Mit dem Schalter links unten können Sie die Erde auf die Umlaufbahn um die Sonne schicken. An ausgezeichneten Punkten (Frühlingsanfang, Winteranfang usw.) hält die Bewegung an.

Mit dem grünen Button links unten können Sie Details der Sonneneinstrahlung auf der Erde ein- bzw. ausblenden.

  
 
   
 
   
   
   
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HTML5-Canvas nicht unterstützt!
1 Simulation zur Darstellung des 1. KEPLERschen Gesetzes

Welche Form haben die Planetenbahnen? Für die Astronomen von Ptolemäus bis Kopernikus war die Antwort klar: Planeten bewegen sich auf Kreisen oder zumindest auf Bahnen, die sich durch Überlagerung mehrerer Kreisbewegungen deuten lassen. Erst Johannes Kepler machte 1609 Schluss mit dieser falschen Vorstellung. Nachdem er das umfangreiche und präzise Beobachtungsmaterial von Tycho Brahe ausgewertet hatte, fand er heraus, dass sich die Planeten auf Ellipsen bewegen. Die Punkte einer Ellipse sind dadurch gekennzeichnet, dass die Summe ihrer Entfernungen zu den so genannten Brennpunkten konstant ist.

Erstes KEPLER'sches Gesetz der ungestörten Planetenbewegung: Die Bahn eines Planeten ist eine Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Diese Simulation veranschaulicht das 1. KEPLERsche Gesetz: Ein Planet (violett) bewegt sich um die Sonne (grün). Im Auswahlfeld rechts oben kann man einen der acht Planeten, den Zwergplaneten Pluto oder den Halleyschen Kometen auswählen. Ebenso ist es möglich, durch Eingabe der großen Halbachse und der numerischen Exzentrizität (kleiner als 1) die Bahn eines frei erfundenen Himmelskörpers zu untersuchen. Das Programm berechnet die Länge der kleinen Ellipsenhalbachse sowie die aktuelle, die minimale und die maximale Entfernung von der Sonne. Dabei erfolgen alle Längenangaben in Astronomischen Einheiten (\(\rm{AE}\)). \(1{\rm{AE}} = 1,49597870 \cdot {10^{11}}{\rm{m}}\) ist definiert als mittlere Entfernung der Erde von der Sonne. Links unten auf der Schaltfläche kann man einstellen, ob die Bahnellipse, die Achsen der Ellipse bzw. die Verbindungsstrecken zwischen dem Himmelskörper und den Brennpunkten (F und F') gezeichnet werden sollen.

Wir danken Herrn Walter Fendt für die Erlaubnis, diese HTML5/Javascript-Animation auf LEIFIphysik zu nutzen.

Hinweise

Die kleinste Entfernung des Planeten von der Sonne wird als Perihel bezeichnet.

Die größte Entfernung des Planeten von der Sonne wird als Aphel bezeichnet.

Meist bezeichnet man die große Halbachse der Ellipse mit \(a\), die kleine mit \(b\).

Für die numerische Exzentrizität ε gilt \(\varepsilon  = \frac{{\sqrt {{a^2} - {b^2}} }}{a}\)

Stelle in Form einer Tabelle die folgenden Daten für alle 9 Planeten und den Halleyschen Kometen zusammen:

  • Große und kleine Halbachse,

  • Aphel und Perihel,

  • Numerische Exzentrizität.

Untersuche, ob es Planeten gibt, deren Bahnen sich überlagern.

  
 
 
   
 
   
   
   
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1 Simulation zur Darstellung des 2. KEPLERschen Gesetzes

An welchem Punkt seiner Ellipsenbahn befindet sich ein Planet zu einem gegebenen Zeitpunkt? Auch zu dieser Frage fand Johannes Kepler im Jahre 1609 eine einfache Gesetzmäßigkeit:

Zweites KEPLERsches Gesetz der ungestörten Planetenbewegung: Die Verbindungslinie Sonne - Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Diese Simulation demonstriert das 2. KEPLERsche Gesetz. Rechts oben auf der Schaltfläche befindet sich eine Liste, aus der man einen der acht Planeten, den Zwergplaneten Pluto oder auch den Halleyschen Kometen auswählen kann. Alternativ dazu ist es möglich, durch Eingabe der großen Halbachse und der numerischen Exzentrizität die Bahn eines erfundenen Himmelskörpers vorzugeben ("Enter"-Taste nicht vergessen!). Die Simulation der Planetenbewegung kann auf Wunsch unterbrochen oder verlangsamt werden (Schaltknopf "Pause / Weiter" bzw. Einstellung "Zeitlupe"). Wenn die Option "Sektoren" gewählt wurde, zeigt die HTML5-App zwei flächengleiche Sektoren und zwei Uhren, an denen man die Zeit für das Durchlaufen dieser Sektoren (ausgedrückt durch die Umlaufzeit \(T\)) ablesen kann. Die Sektoren lassen sich mit einem Schieberegler vergrößern oder verkleinern oder mit gedrückter Maustaste verschieben. Auf Wunsch wird der Geschwindigkeitsvektor des Planeten oder Kometen eingezeichnet. Das Programm liefert Angaben zur Entfernung des Himmelskörpers von der Sonne (in Astronomischen Einheiten; \(1{\rm{AE}} = 1,49597870 \cdot {10^{11}}{\rm{m}}\)) und zur Geschwindigkeit (in \(\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\)).

Stelle in Form einer Tabelle die folgenden Daten für alle 9 Planeten und den HALLEYschen Kometen zusammen:

Größte Geschwindigkeit und zugehörige Sonnenentfernung,

Kleinste Geschwindigkeit und zugehörige Sonnenentfernung.

Numerische Exzentrizität.

  • Mit dieser Animation der University of Virginia (Planetary Motion) können Sie mit der Maus einen Planeten in der schwarzen Ebene um die Sonne positionieren.
  • Mit gedrückter Maustaste können Sie dem Planeten eine Anfangsgeschwindigkeit vorgeben. Betrag und Richtung werden durch einen roten Pfeil gekennzeichnet (linkes Bild).
  • Sonnenentfernung, Planetengeschwindigkeit und verstrichene Zeit seit dem Start werden rechts oben eingeblendet.
  • Mit der Pause-Taste (blau) können Sie nach einem vollen Umlauf stoppen und so die Umlaufdauer des Planeten feststellen (mittleres Bild).
  • Durch geschicktes Stoppen ist es auch möglich die kleinste und die größte Sonnenentfernung festzustellen und so auf die große Halbachse der Ellipse zu schließen.
  • Durch Vergleich der großen Halbachsen und Umlaufzeiten zweier verschiedener Planetenbahnen kann das dritte Kepler-Gesetz nachvollzogen werden.
  • Nach Druck auf den gelben Knopf rechts (Show Kepler's Law) kann wiederum ein Planet mit wählbarer Anfangsgeschwindigkeit positioniert werden. Nun werden aber auch noch die sogenannten Fahrstrahlen eingeblendet. Die so entstehenden gelb markierten Segmente haben alle die gleiche Fläche (Kepler 2).


Das frei zugängliche Programm "Planetary Orbit Simulator" der University of Nebraska gestattet eine sehr komfortable Darstellung der drei Gesetze von Kepler.

  • Als erstes wählt man sich den interessierenden Planeten aus (rechts oben) und bestätigt dies mit der Ok-Taste.
    Daraufhin wird die Exzentrizität des Planeten und die Länge der großen Halbachse automatisch eingestellt.
    Das Programm wählt sich nun einen sinnvollen Maßstab und zeigt diesen in astronomischen Einheiten AU (rechts oben) an. Astronomischen Einheiten: 1 AE = 1,5·1011 m.
  • Zu Programmbeginn ist stets der Programmteil Kepler's first Law eingestellt (siehe unten).
  • Durch Drücken des Buttons start animation startet der Umlauf des Planeten.

Mögliche Einblendungen (rechts unten):

  • show solar system orbits: Darstellung der benachbarten Planetenbahnen
  • show solar system planets: Darstellung der umlaufenden benachbarten Planeten
  • label the solar system orbits: Einblendung der Namen der Planeten
  • show grid: Einblendung eines Koordinatengitters
  • clear optional features: Ausblendung der obigen Einblendungen
 

1. Gesetz von Kepler:
Die Planeten bewegen sich auf Ellipsenbahnen. Im gemeinsamen Brennpunkt (erster Brennpunkt) der Planetenellipsen sitzt die Sonne.

Mit dem Simulationsprogramm kann man sich Details der Ellipsenbahn darstellen lassen.


 

2. Gesetz von Kepler:
Der von der Sonne zum Planeten gezogene Radiusvektor überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen (Flächensatz).

Mit dem Simulationsprogramm kann man sich die Flächen, welche der Radiusvektor von der Sonne zum Planeten in einer einstellbaren Zeit überstreicht, darstellen lassen.



 

3. Gesetz von Kepler:
Die Quadrate der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben der großen Halbachsen.

\[\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{a_1^3}}{{a_2^3}} \Rightarrow \frac{{T_1^2}}{{a_1^3}} = \frac{{T_2^2}}{{a_2^3}} \Rightarrow \frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = const.\]


Mit dem Simulationsprogramm kann man sich die Umlaufdauer (im Programm mit p, im Unterricht mit T bezeichnet) und die zugehörige große Halbachse in einem linearen bzw. in einem logarithmischen Koordinatensystem darstellen lassen.

  • Im Koordinatensystem mit linearer Teilung ergibt sich eine Ursprungsparabel.
  • Im Koordinatensystem mit logarithmischer Teilung ergibt sich eine Ursprungsgerade mit der Steigung 2/3 (Achtung: Hochwertachse und Rechtswertachse haben verschiedene logarithmische Maßstäbe).

Die University of Virginia bietet zwei hübsche Animationen über die Bewegung der inneren und äußeren Planeten in unserem Sonnensystem an. Hier erhält man einen Eindruck über die gegenseitigen Abstände der Planeten und ihre Umlaufdauern.

zur Flash-Animation

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