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Grundwissen

Geometrie der Ellipse

Das Wichtigste auf einen Blick

  • Planetenbahnen können nach KEPLER sehr gut als Ellipsen beschrieben werden.
  • Ellipsen haben zwei Brennpunkte.
  • Wichtige Begriffe sind die große Halbachse \(a\), die kleine Halbachse \(b\) und die Exzentrizität \(\varepsilon\).

Johannes KEPLER (1571-1630) nutzte zur Beschreibung der Planetenbahnen anstelle von ineinander geschachtelten Kreisbahnen als erster sogenannte Ellipsen.

Da du diese wahrscheinlich im Mathematikunterricht noch nicht behandelt hast, stellen wir hier die wichtigsten Größen zur Beschreibung von Ellipsen vor (siehe Abb. 1):

  • M: Mittelpunkt
  • a: Länge der großen Halbachse
  • b: Länge der kleinen Halbachse
  • e: Länge der linearen Exzentrizität
  • F1, F2: Brennpunkte
  • r1, r2: Fahrstrahlen

Zwischen den verschiedenen Größen bestehen die Beziehungen\[{e^2} = {a^2} - {b^2}\]sowie\[{r_1} + {r_2} = 2 \cdot a\]

Die Exzentrizität \(\varepsilon\)

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Abb. 2 Exzentrizität als Maß für die Abweichung einer Ellipse von der Kreisform

Eine weitere wichtige Größe zur Beschreibung von Ellipsen ist die Exzentrizität \(\varepsilon\). Sie ist definiert als das Verhältnis (Quotient) von linearer Exzentrizität \(e\) zu großer Halbachse \(a\):\[\varepsilon  = \frac{e}{a}\]Die Exzentrizität liegt immer zwischen \(0\) und \(1\) und beschreibt grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform: Eine Ellipse mit der Exzentrizität \(\varepsilon = 0\) ist ein Kreis, je größer die Exzentrizität \(\varepsilon\) ist, desto stärker weicht die Ellipse von der Kreisform ab (vgl. Abb. 2).