Bei der Herleitung des ersten KEPLERschen Gesetzes hatten wir bereits festgestellt, dass bei der Bewegung von Trabanten um einen Zentralkörper unter dem Einfluss der Gravitationskraft der Drehimpuls \(\vec L\) konstant ist:\[\vec L = \vec r \times \vec p = m \cdot \left( {\vec r \times \vec v} \right)\;{\rm{ist}}\;{\rm{konstant}} \quad(1)\] Dies ist nun unser Ansatz zur Herleitung des zweiten KEPLERsche Gesetzes.
Abb. 1 zeigt den Fahrstrahl \(\vec r\) einer Ellipsenbahn und die infinitesimale Änderung \(d \vec r\) dieses Fahrstrahls. Diese beiden Vektoren stehen praktisch senkrecht aufeinander und bilden die Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks, das grau gefärbt ist. Den infinitesimalen Vektor \(d\vec A\) definieren wir durch\[d\vec A = \frac{1}{2} \cdot \left( {\vec r \times d\vec r} \right)\]Wegen der Definition des Vektorproduktes steht der Vektor \(d\vec A\) senkrecht auf den Vektoren \(\vec r\) und \(d \vec r\), sein Betrag ist gleich der Maßzahl des Flächeninhalts des obigen Dreiecks. Der Vektor \(d\vec A\) wird deshalb als Flächenvektor bezeichnet.
Teilen wir formal den Flächenvektor durch \(dt\), so erhalten wir die sogenannte Flächengeschwindigkeit\[\frac{{d\vec A}}{{dt}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\vec r \times \frac{{d\vec r}}{{dt}}} \right) = \frac{1}{2} \cdot \left( {\vec r \times \vec v} \right)\]Formen wir Gleichung \((1)\) geeignet um, so erhalten wir\[\vec L = \vec r \times \vec p = m \cdot \left( {\vec r \times \vec v} \right) \Leftrightarrow \vec r \times \vec v = \frac{{\vec L}}{m} \quad(2)\]Setzen wir dies in die obige Gleichung ein, so erhalten wir\[\frac{{d\vec A}}{{dt}} = \frac{1}{2} \cdot \left( {\vec r \times \vec v} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{{\vec L}}{m}\]Betraglich bedeutet dies\[\frac{{dA}}{{dt}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m}\]Integriert man diese Gleichung auf beiden Seiten über die Zeit vom Zeitpunkt \(t=t_0\) bis zum Zeitpunkt \(t=t_0+\Delta t\), so ergibt sich\[\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + \Delta t} {\frac{{dA}}{{dt}}\;dt} = \int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + \Delta t} {\frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m}\;dt} \]Die linke Seite dieser Gleichung berechnet sich zu\[\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + \Delta t} {\frac{{dA}}{{dt}}\;dt} = \int\limits_0^{\Delta A} {dA} = \Delta A\]Die rechte Seite der Gleichung berechnet sich zu\[\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + \Delta t} {\frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m}\;dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m}\int\limits_{{t_0}}^{{t_0} + \Delta t} {dt} = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m} \cdot \Delta t\]Damit erhalten wir\[\Delta A = \frac{1}{2} \cdot \frac{L}{m} \cdot \Delta t\]Der Inhalt \(\Delta A\) der in einer Zeitspanne \(\Delta t\) überstrichenen Fläche ist also proportional zur Zeitspanne \(\Delta t\), d.h. in gleich großen Zeitspannen \(\Delta t\) werden vom Fahrstrahl gleich größe Flächen überstrichen. Dies ist exakt die Ausage des zweiten KEPLERschen Gesetzes.