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Aufgabe

Zwergplanet Ceres

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Planetenbilder von der NASA CWitte
Abb. 1 Größenvergleich von Erde (rechts) mit Ceres (oben links) und Mond (unten links)

a)Berechne die Konstante \(C_{\rm{S}}=\frac{T^2}{a^3}\) für unser Sonnensystem.

b)Der Kleinplanet Ceres benötigt für einen vollen Umlauf um die Sonne \(4{,}60\) Jahre.

Bestimme mit Hilfe einer Rechnung, zwischen welchen Bahnen großer Planeten seine Bahn verläuft.

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a)Aus der Kombination von drittem KEPLERschen Gesetz und dem Gravitationsgesetz von NEWTON (\(M\): Masse des Zentralkörpers, \(G\): Gravitationskonstante)\[\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot M}}\]ergibt sich für unser Sonnensystem mit \({M_{\rm{S}}} = 1{,}99 \cdot {10^{30}}\,{\rm{kg}}\) und \({G = 6{,}674 \cdot {{10}^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}\)\[{C_{\rm{S}}} = \frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{6{,}674 \cdot {{10}^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 1{,}99 \cdot {{10}^{30}}\,{\rm{kg}}}} = 2{,}97 \cdot {10^{ - 19}}\,\frac{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}\]

b)Aus\[\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}} = {C_{\rm{S}}} \Leftrightarrow {a^3} = \frac{{{T^2}}}{{{C_{\rm{S}}}}} \Rightarrow a = \sqrt[3]{{\frac{{{T^2}}}{{{C_{\rm{S}}}}}}}\]ergibt sich mit \({T = 4{,}60\,{\rm{a}} = 4{,}60 \cdot 365 \cdot 24 \cdot 3600\,{\rm{s}} = 1{,}45 \cdot {{10}^8}\,{\rm{s}}}\)\[a = \sqrt[3]{{\frac{{{{\left( {1{,}45 \cdot {{10}^8}\,{\rm{s}}} \right)}^2}}}{{2{,}97 \cdot {{10}^{ - 19}}\,\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}} = 4{,}14 \cdot {10^{11}}\,{\rm{m}} = 4{,}14 \cdot {10^8}\,{\rm{km}} = 414\,{\rm{Mio. km}} \]Die große Halbachse der Bahn des Mars beträgt \(228\,{\rm{Mio. km}}\), die des Jupiter \(778\,{\rm{Mio. km}}\). Somit verläuft die Bahn von Ceres im Asteroidengürtel zwischen den Bahnen von Mars und Jupiter.

 

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Weltbilder, KEPLERsche Gesetze