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Aufgabe

Umlaufdauer eines Satelliten

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Berechne die Umlaufdauer \(T\) und Geschwindigkeit \(v\) eines Satelliten, der die Erde in \(h=500\,\rm{km}\) Höhe umkreist. Benutzen Sie dabei die Tatsache, dass der \(r_{\rm {M}}= 384000\,\rm{km}\) entfernte Mond in \(T_{\rm {M}}= 27{,}3\,\rm{d}\) um die Erde läuft.

Hinweis:
Der Erdradius beträgt \(r_{\rm {E}}= 6370\,\rm{km}\).

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Nach dem dritten KEPLER'schen Gesetz gilt für den Satelliten und den Mond\[\frac{{T_{\rm{S}}^2}}{{r_{\rm{S}}^3}} = \frac{{T_{\rm{M}}^2}}{{r_{\rm{M}}^3}} \Rightarrow {T_{\rm{S}}} = {T_{\rm{M}}} \cdot \sqrt {\frac{{r_{\rm{S}}^3}}{{r_{\rm{M}}^3}}} \]Für den Radius der Satellitenbahn gilt\[{r_{\rm{S}}} = {r_{\rm{E}}} + 500\,{\rm{km}} = 6870\,{\rm{km}}\]Damit folgt\[{T_{\rm{S}}} = 27{,}3\,{\rm{d}} \cdot \sqrt {\frac{{{{\left( {6870\,{\rm{km}}} \right)}^3}}}{{{{\left( {384000\,{\rm{km}}} \right)}^3}}}} = 6{,}53 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{d}} \approx 94{,}0\,{\rm{min}}\]Der Satellit legt in \(94{,}0\,\rm{min}\) den Umfang des Kreises mit dem Radius \(r_{\rm{S}}\) zurück. Damit ergibt sich\[{v_{\rm{S}}} = \frac{{2 \cdot {r_{\rm{S}}} \cdot \pi }}{{{T_{\rm{S}}}}} \Rightarrow {v_{\rm{S}}} = \frac{{2 \cdot 6870\,{\rm{km}} \cdot \pi }}{{94{,}0 \cdot 60\,{\rm{s}}}} = 7{,}65\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{s}}}\]