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Aufgabe

Terrorismus im All

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Angenommen, Weltraumterroristen würden die Erde auf ihrer Bahn um die Sonne anhalten; die Tangentialgeschwindigkeit der Erde wäre also \(v_E=0\rm{\frac{m}{s}}\).

Berechne, wie lange es danach dauern würde, bis die Erde in die Sonne gestürzt wäre.

Tipp: Löse die Aufgabe mit Hilfe des dritten keplerschen Gesetzes.

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Lösungsbild Aufgabe Terrorismus im All Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Schar von Ellipsen, die sich immer mehr der geradlinigen Verbindung Sonne - Erde annähern

Näherungsweise bewegt sich die Erde mit der Umlaufdauer \(T_E=1\,\rm{a}\) auf einem Kreis um die Sonne. Die Entfernung Erde - Sonne ist gleich dem Kreisradius \(r_E\). Verkleinert man in Gedanken die Geschwindigkeit \(v_E\) der Erde im Aphel, so wird ihre Bahn zu einer immer flacher werdenden Ellipse mit der großen Halbachse \(a\) und der Umlaufdauer \(T\). Dabei gilt das dritte keplersche Gesetz:

Wenn die Geschwindigkeit \(v_E\) gegen \(0\,\rm{\frac{m}{s}}\) geht, so klappt die Ellipse zur Verbindungsstrecke zwischen S und E zusammen. Ihre Länge beträgt\(r_E\). Auch in diesem Grenzfall gilt noch das dritte keplersche Gesetz.

Es gilt die Beziehung:

\[{e^2} = {a^2} - {b^2}\]

In unserem Fall ist b = 0, also e = a. Die beiden Brennpunkte der "Ellipse" liegen auf ihr selbst; im einem steht die Sonne, im andern die Erde. Somit ist \(2a = r_E\), also \(a=\frac{r_E}{2}\). Daraus folgt:

\[\frac{{{T^2}}}{{{{\left( {\frac{{{r_E}}}{2}} \right)}^3}}} = \frac{{T_E^2}}{{r_E^3}} \Rightarrow T = \frac{{{T_E}}}{{2 \cdot \sqrt 2 }}\]

Die "Fallzeit" bis zur Sonne (nur "hin", nicht "hin und her") beträgt damit:

\[\frac{T}{2} = \frac{{{T_E}}}{{4 \cdot \sqrt 2 }} \Rightarrow \frac{T}{2} \approx 0{,}177 \cdot {T_E} \approx 64{,}6\,\rm{d}\]