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Aufgabe

GALILEIsche Monde und das dritte KEPLERsche Gesetz

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

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Abb. 1 Skizze von GALILEIs Beobachtungen der Jupitermonde zwischen dem 7. und 13.1.1610

In der Skizze in Abb. 1 sind die Originalaufzeichnungen der Bewegung der vier Jupitermonde von Galileo GALILEI (1564 - 1642) (GALILEIsche Monde) aus dem Jahre 1610 dargestellt (aus Sky & Telescope Juni 1989).

"Reproduced are the first six sketches Galileo made for his Sederius Nuncius of 1610, showing the Jovian moon system. The Paduan astronomer did not realize there were four moons until the sixth night of observation. His orientation of the sketches with east toward left is a reminder, that Galileo, after all, used a noninverting Galilean telecopel."

 

Aus dem Diagramm in Abb. 2 kann man erkennen, dass die Bewegungen der vier GALILEIschen Monde sehr gut durch Sinuskurven beschrieben werden können.

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Abb. 2 Näherung der Bewegungen der GALILEIschen Monde durch Sinusfunktionen

Für die Auswertung des Diagramms in Abb. 2 ist es hilfreich, dieses im DIN A4-Format auszudrucken.

a)Bestätige durch Auswertung des Diagramms in Abb. 2 die Gültigkeit des dritten KEPLERschen Gesetzes.

b)Bestimme aus dem Bahnradius des Mondes Kallisto \({r_{\rm{K}}} = 1{,}88 \cdot {10^6}\,{\rm{km}}\) die Masse des Jupiters.

Anregung zu eigener Beobachtung: Ist der Jupiter am Himmel zu sehen, so kann man bereits mit einem normalen großen Fernglas oder einem kleinen Fernrohr seine Monde sehen. Den Abstand der Monde kann man ins Verhältnis zur Größe des Jupiter abschätzen und die Beobachtung des GALILEI nachvollziehen. Mit Hilfe mehrerer zeitlich exakt aufgeschriebener Beobachtungen kann man sehr gute Ergebnisse erreichen.

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a)Aus dem Diagramm in Abb. 2 können wir unter der Annahme, dass die Bahnen der Jupitermonde fast kreisförmig und damit Kreisradius \(r\) und große Ellipsenhalbachse \(a\) fast identisch sind, folgende Daten entnehmen:

  \(a\;{\rm{in}}\;{\rm{LE}}\) \(T\;{\rm{in}}\;{\rm{ZE}}\) \(\frac{{{T^2}}}{{{a^3}}}\;{\rm{in}}\;\frac{{{\rm{Z}}{{\rm{E}}^3}}}{{{\rm{L}}{{\rm{E}}^2}}}\)
Io \(1{,}1\) \(4{,}3\) \(13{,}9\)
Europa \(1{,}8\) \(8{,}6\) \(12{,}7\)
Ganymed \(2{,}9\) \(18\) \(13{,}3\)
Kallisto \(5{,}2\) \(42\) \(12{,}5\)

Die nahe beieinander liegenden Zahlen in der letzten Spalte bestätigen des dritte KEPLERsche Gesetz recht gut.

b)Gegeben sind der Radius \({r_{\rm{K}}} = 1{,}88 \cdot {10^6}\,{\rm{km}}=1{,}88 \cdot {10^9}\,{\rm{m}}\) der Bahn von Kallisto, den wir wieder als fast gleich der großen Ellipsenhalbachse \(a\) von Kallisto annehmen. Weiter können wir aus dem Diagramm in Abb. 2 für die Umlaufdauer \(T\) von Kallisto \(T=42\,\rm{ZE} = 42 \cdot 10\,\rm{h} = 42 \cdot 10 \cdot 3600\,\rm{s} = 1{,}512 \cdot 10^6 \,\rm{s}\) ablesen. Aus der Kombination von drittem KEPLERschen Gesetz und dem Gravitationsgesetz von NEWTON (\(M\): Masse des Zentralkörpers, \(G\): Gravitationskonstante)\[{T^2} = \frac{{4 \cdot {\pi ^2}}}{{G \cdot M}} \cdot {a^3}\]ergibt sich\[M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {a^3}}}{{G \cdot {T^2}}} \Rightarrow M = \frac{{4 \cdot {\pi ^2} \cdot {{\left( {1{,}88 \cdot {{10}^9}\,{\rm{m}}} \right)}^3}}}{{6{,}674 \cdot {{10}^{ - 11}}\,\frac{{{{\rm{m}}^{\rm{3}}}}}{{{\rm{kg}} \cdot {{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {{\left( {1{,}512 \cdot {{10}^6}\,{\rm{s}}} \right)}^2}}} = 1{,}7 \cdot {10^{27}}\,{\rm{kg}}\]Dieser Wert weicht vom Literaturwert von \(1{,}9 \cdot {10^{27}}\,{\rm{kg}}\) lediglich um ca. \(10\%\) ab.