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Aufgabe

Asteroidengürtel

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Nasa, überarbeitet: Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Position des Asteroidengürtels in unserem Sonnensystem

a)Die Asteroiden sind kleine Himmelskörper, die sich zwischen Mars- und der Jupiterbahn bewegen.

Geben Sie einen sinnvollen Bereich für die Umlaufszeiten dieser Kleinobjekte um die Sonne an.

b)Auch der Kleinplanet Ceres mit seiner Umlaufdauer von \(4{,}60\,{\rm{a}}\) liegt im Asteroidengürtel.

Bestimmen Sie den Radius der (vereinfacht kreisförmigen) Ceres-Bahn in astronomischen Einheiten AE.

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a)Die Radien der Asteroidenbahnen liegen zwischem dem Radius der Mars- und der Jupiterbahn. Ausgrund des 3. KEPLERschen Gesetz folgt dann, dass die Umlaufdauern der Asteroiden zwischen der Umlaufdauer des Mars und des Jupiter liegen:
\[1{,}9\,{\rm{a}} < {T_{Asteroid}} < 11{,}9\,{\rm{a}}\]
Diese Folgerung ist zulässig, da nach dem 3. KEPLERschen Gesetz gilt:
\[\frac{{{T^2}}}{{{r^3}}} = const. \Rightarrow {T^2} \sim {r^3} \Rightarrow T \sim {r^{\frac{3}{2}}}\]

b)\[{\frac{{T_{Ceres}^2}}{{r_{Ceres}^3}} = \frac{{T_{Erde}^2}}{{r_{Erde}^3}} \Rightarrow {r_{Ceres}} = {r_{Erde}} \cdot {{\left( {\frac{{{T_{Ceres}}}}{{{T_{Erde}}}}} \right)}^{\frac{2}{3}}} \Rightarrow {r_{Ceres}} = 1{\rm{AE}} \cdot {{\left( {\frac{{4{,}60}}{{1{,}00}}} \right)}^{\frac{2}{3}}} \approx 2{,}8\,{\rm{AE}}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Weltbilder, KEPLERsche Gesetze