Weltbilder, KEPLERsche Gesetze

Mechanik

Weltbilder, KEPLERsche Gesetze

  • Wussten die alten Griechen, dass sich die Erde um die Sonne dreht?
  • Warum sprechen wir von der Kopernikanische Revolution?
  • Nach welchen Gesetzen bewegen sich die Planeten?

Johannes KEPLER (1571 - 1630)
unbekannter Autor [Public domain], via Wikimedia Commons

Tycho BRAHE (1546 - 1601)
von Eduard Ender [Public domain], via Wikimedia Commons

Das Zusammenspiel zwischen der genauen Beobachtung von Tycho BRAHE (1546 - 1601) und der genialen theoretischen Interpretation von Johannes KEPLER (1571 - 1630) brachte die Astronomie einen sehr großen Schritt weiter.

Tycho BRAHE hatte in der Zeit, in welcher noch ohne Fernrohr beobachtet wurde, die besten Messinstrumente zur Verfügung und erlangte durch sie die genauesten Sternpositionen. Aus heutiger Sicht würde man sagen, BRAHE war in erster Linie ein glänzender Experimentalphysiker. Nachdem das Interesse des dänischen Königshauses an der Förderung der Astronomie nachließ, ging BRAHE 1599 an den Hof von Rudolf II. nach Prag und setzte dort seine wissenschaftlichen Arbeiten fort. BRAHE lud den 25 Jahre jüngere Johannes KEPLER, der sich durch einige Schriften schon als mathematisches Genie einen Namen gemacht hatte, nach Prag ein, wo dieser zum Assistenten BRAHES wurde.

BRAHE und KEPLER kamen nicht lange gut miteinander aus. BRAHE misstraute KEPLER offensichtlich in der Angst, dass sein kluger, junger Assistent ihn als führenden Astronomen seiner Zeit verdrängt. Er gab ihm deshalb nur Einblick in einen Teil seiner umfangreichen Datensammlung. Er setzte KEPLER darauf an, die Bewegung des Planeten Mars zu untersuchen, die wegen der sehr deutlichen Schleifen als sehr schwierig galt. Man glaubt, dass ein Grund dafür, dass BRAHE KEPLER mit dem Marsproblem betraute, die Hoffnung war, dass KEPLER mit diesem Problem ausgelastet war, so dass BRAHE in Ruhe an seiner Theorie des Sonnensystems arbeiten konnte. Die Ironie des Schicksals wollte es, dass KEPLER gerade durch die Bewegung des Mars auf die Gesetzmäßigkeiten gestoßen wurde, die für die Entwicklung der Astronomie weit über BRAHE hinaus von Bedeutung waren.

KEPLER und die elliptischen Planetenbahnen

Im Gegensatz zu BRAHE benutzte KEPLER das Kopernikanische System. Das Marsproblem erschien nur deshalb so schwierig, weil KOPERNIKUS den Mittelpunkt des Systems nahe der Sonne gelegt hat und annahm, das die Marsbahn ein Kreis ist. Die Abweichungen von der Kreisbahn versuchte KOPERNIKUS durch Epizyklen auszugleichen.

Auch KEPLER versuchte lange die Marsbahn durch ineinandergeschachtelte Kreisbahnen nach der Epizyklentheorie von PTOLEMÄUS - die auch KOPERNIKUS übernommen hatte - anzupassen. Es ist sein Verdienst, dass er die Kreise durch "abgeflachte Kreise", also Ellipsen, ersetzte. Gerade die Interpretation der von BRAHE gut untersuchten Marsbahn mit ihrer deutlichen Kreisabweichung war geeignet von den 1500 Jahre lang favorisierten Kreisbahnen abzurücken.

Wie oben bereits gesagt nutzte Johannes KEPLER zur Beschreibung der Planetenbahnen sogenannte Ellipsen. Da du diese wahrscheinlich im Mathematikunterricht (noch) nicht behandelt hast, stellen wir dir hier die wichtigsten Größen zur Beschreibung von Ellipsen vor.

M: Mittelpunkt

a: Länge der großen Halbachse

b: Länge der kleinen Halbachse

e: Länge der linearen Exzentrizität

F1, F2: Brennpunkte

r1, r2: Fahrstrahlen

Zwischen den verschiedenen Größen bestehen die Beziehungen\[{e^2} = {a^2} - {b^2}\]sowie\[{r_1} + {r_2} = 2 \cdot a\]

1 Die wichtigsten Größen zur Beschreibung von Ellipsen

Eine weitere wichtige Größe zur Beschreibung von Ellipsen ist die Exzentrizität \(\varepsilon\). Sie ist definiert als das Verhältnis (Quotient) von linearer Exzentrizität \(e\) zu großer Halbachse \(a\):\[\varepsilon  = \frac{e}{a}\]Die Exzentrizität liegt immer zwischen \(0\) und \(1\) und beschreibt grob gesagt die Abweichung der Ellipse von der Kreisform: Eine Ellipse mit der Exzentrizität \(\varepsilon = 0\) ist ein Kreis, je größer die Exzentrizität \(\varepsilon\) ist, desto stärker weicht die Ellipse von der Kreisform ab.

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2 Exzentrizität als Maß für die Abweichung einer Ellipse von der Kreisform

Gärtnerkonstruktion von Ellipsen

Geometrie der Ellipse Gärtnerkonstruktion.jpg
Abb.
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Gärtnerkonstruktion einer Ellipse

Die Tatsache, dass die Summe der beiden Fahrstrahllängen konstant (\(= 2 \cdot a\)) ist, kann man zum Zeichnen von Ellipsen nach der sogenannten Gärtnerkonstruktion ausnützen. Dies ist ist eine Methode, einen Kreis oder eine Ellipse mittels Schnur und Bleistift genau zu zeichnen. Zur Konstruktion einer Ellipse müssen die beiden Brennpunkte und die Länge der großen Halbachse \(a\) bekannt sein; beim Kreis fallen die Brennpunkte im Kreismittelpunkt zusammen.

Du benötigst zwei Nägel oder Holzpflöcke, eine Schnur sowie einen Stift. Dann gehst du folgendermaßen vor:

Schlage die beiden Nägel bzw. Holzpflöcke in die Brennpunkte ein. Binde in die Schnur zwei Schlaufen, so dass die Gesamtlänge das doppelte der großen Halbachse ist (\(= 2 \cdot a\)). Lege die Schlaufen um die Nägel bzw. Pflöcke (siehe Foto). Straffe mit dem Stift den Faden straff und setze den Stift senkrecht auf. Zeichne mit gespanntem Faden erst eine Hälfte der Ellipse und nach erneutem Ansetzen die andere Hälfte.

Erstes KEPLERsches Gesetz

Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.

Die Sonne befindet sich also nicht in der Mitte, sondern in einem Brennpunkt der Elllipse; der andere Brennpunkt ist leer.

Der Planet folgt dieser Ellipse auf seiner Umlaufbahn, was bedeutet, dass der Abstand zur Sonne sich laufend ändert. Den Bahnpunkt mit dem geringsten Abstand zur Sonne bezeichne man als Perihel, den Bahnpunkt mit dem größten Abstand zur Sonne bezeichne man als Aphel.

Das Halbjahr mit der größeren Sonnenferne (Sommer auf der Nordhalbkugel) ist länger als das andere Halbjahr, wenn man das Jahr durch den Frühlings- und Herbstpunkt (Übergang der Sonne über den Äquator) in zwei Halbjahre teilt.

Bedeutung der Exzentrizität für die Erde

Bei der Erdbahn ist die Exzentrizität \(\varepsilon = 0{,}0167\), das bedeutet, dass die Sonne um \(1{,}6\%\) der großen Halbachse seitlich des Mittelpunkts ist. Die kleine Halbachse ist nur um \(0{,}01\%\) kleiner als die große Halbachse. Die Erdbahn ist also fast ein perfekter Kreis, bei dem lediglich die Sonne etwas seitlich des Mittelpunkts ist.

Bedeutung der Exzentrizität für andere Planeten, Planetoiden und Kometen

Die Ellipsenbahnen der meisten Planeten wie Erde, Venus, Jupiter, Saturn, Uranus und Neptun haben sehr geringe Exzentrizäten, die kleiner sind als \(5\%\). Merkur hat eine Exzentrizität von \(0{,}20\), Mars von \(0{,}093\) und der Zwergplanet Pluto von \(0{,}25\). Auch die größeren Planetoiden haben meist Exzentrizitäten unter \(0{,}25\). Die Kometen zeichnen sich hingegen durch sehr hohe Exzentrizitäten aus  wie z.B. HALLEY mit \(0{,}967\).

1 Erstes KEPLERsches Gesetz: Die Planeten bewegen sich auf elliptischen Bahnen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht

Zweites KEPLERsches Gesetz

Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen.

Der Planet bewegt sich also unterschiedlich schnell. In Sonnennähe ist der Planet schneller als in Sonnenferne.

Für die Erde bedeutet dies, dass im Sommer (auf der Nordhalbkugel) die Erde langsamer ist, da sie weiter von der Sonne entfernt ist. Aus diesem Grund und wegen der größeren Strecke ist auch der Sommer (vom 20.März bis 23.September) um 9 Tage länger als der Winter (vom 23.September bis 20.März).

1 Zweites KEPLERsches Gesetz: Ein von der Sonne zum Planeten gezogener Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleich große Flächen
 

Drittes KEPLERsches Gesetz

Die Quadrate (zweite Potenzen) der Umlaufzeiten zweier Planeten um das gleiche Zentralgestirn verhalten sich wie die Kuben (dritte Potenzen) der großen Bahnhalbachsen\[\frac{{T_1^2}}{{T_2^2}} = \frac{{a_1^3}}{{a_2^3}}\]Anders formuliert: Für alle Planeten, die um das gleiche Zentralgestirn kreisen, haben die Quotienten aus dem Quadrat der Umlaufzeit und der dritten Potenz der großen Bahnhalbachse den selben Wert\[\frac{{T_1^2}}{{a_1^3}} = \frac{{T_2^2}}{{a_2^3}} = ... = C\]Die Konstante \(C\), die für jedes Zentralgestrirn einen anderen Wert hat, bezeichnet man als KEPLER-Konstante.

Das dritte KEPLERsche Gesetz vergleicht die Umlaufzeiten verschiedener Planeten um das gleiche Zentralgestirn Sonne. Planeten mit größerer Sonnenferne brauchen wesentlich länger für einen Umlauf als nahe Planeten. So benötigt etwa der sonnennächste Planet Merkur nur 88 Tage für einen Umlauf, wohingegen der sonnenferne Neptun für einen Umlauf 165 Jahre benötigt.

Das dritte Gesetz von KEPLER ist natürlich auch anwendbar, wenn ein anderes Zentralgestirn als die Sonne ausgewählt wird (z.B. der Planet Jupiter für alle Jupitermonde). Es ist allerdings zu beachten, dass die in die Formel eingesetzten Daten sich immer auf das gleiche Zentralgestirn beziehen müssen.

Für das Zentralgestirn Sonne gilt \[C_{\rm{Sonne}} = 2,97 \cdot {10^{ - 19}}\frac{{{s^2}}}{{{m^3}}}\]für das Zentralgestirn Jupiter gilt\[C_{\rm{Jupiter}} = 3,1 \cdot {10^{ -16}}\frac{{{s^2}}}{{{m^3}}}\]und für das Zentralgestirn Erde\[C_{\rm{Erde}} = 9,83 \cdot {10^{ -14}}\frac{{{s^2}}}{{{m^3}}}\]

Die KEPLERschen Gesetze gehen davon aus, dass die Masse des Zentralkörpers deutlich größer ist als die Masse der umlaufenden Körper. Ist dies nicht der Fall, müssen die Gesetzmäßigkeiten abgeändert werden (vgl. Astronomie-Unterricht).

Das dritte Gesetz von KEPLER lieferte den Schlüssel für Aussagen über die Ausdehnung unseres Planetensystems. Während man die Umlaufzeiten der Planeten relativ einfach messen konnte, war die Angabe der absoluten Länge einer großen Halbachse im System schwierig. Aber erst mit Kenntnis der Umlaufzeiten und der Länge der großen Halbachse eines Planeten, können die Halbachsen anderer Planeten durch das 3. KEPLERsche Gesetz bestimmt werden.

1 Drittes KEPLERsches Gesetz: Die Quadrate (zweite Potenzen) der Umlaufzeiten zweier Planeten verhalten sich wie die Kuben (dritte Potenzen) der großen Bahnhalbachsen
 
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