Waagerechter und schräger Wurf

Mechanik

Waagerechter und schräger Wurf

  • Warum nützt die Physik beim Basketball?
  • Was versteht man unter dem „Unabhängigkeitsprinzip“?
  • Wie berechnet man die Bahn von Kanonenkugeln?

Das Wichtigste auf einen Blick

In x-Richtung bewegt sich er Körper gleichförmig, in y-Richtung gleichmäßig beschleunigt.

Die Bahngleichung \(y(x)\) erhälst du durch Elimination von \(t\) aus den Bewegungsgleichungen.

Die Flugbahn ist eine Parabel mit \(y(x)=\frac{1}{2}\cdot \frac{g}{{v_{0,x}}^2}\cdot x^2\).

1 Stroboskopaufnahme eines waagerechten Wurfs

In der Animation bewegt sich eine Kugel gleichförmig mit der Geschwindigkeit \(v_{0,x}\) auf einer Rampe in der Höhe \(h\) über dem Erdboden. Ein Stroboskop beleuchtet dabei die Anordnung im Sekundentakt. Die jeweilige Position der Kugel wird so markiert.

Die Uhr beginnt zu laufen, wenn die Kugel die Rampe verlässt. Die horizontale Entfernung des Aufschlagpunktes der Kugel von der Rampe stellt die Wurfweite \(x_{\rm{W}}\) dar.

Bewegungsgesetze \(x(t)\), \(y(t)\), \(y_x(x)\), \(v_y(x)\) des waagerechten (oder horizontalen) Wurfs

Mit Hilfe der Bewegungsgesetze kann man zu jedem Zeitpunkt die \(x\)- und die \(y\)-Koordinate des Körpers bestimmen.

  Zeit-Weg-Gesetz Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz
\(x\)-Komponente: gleichförmige Bewegung \[x(t) = {v_{0,x}}\cdot t\;(1)\] \[{v_x}(t) = {v_{0,x}}\]
\(y\)-Komponente: gleichmäßig beschleunigte Bewegung (freier Fall) \[y(t) = \frac{1}{2}\cdot g \cdot {t^2}\;(2)\] \[{v_y}(t) = g \cdot t\]

 

Bahngleichung \(y(x)\) des waagerechten Wurfs

Mit Hilfe der Bahngleichung lässt sich zu jeder \(x\)-Koordinate des Körpers die zugehörige \(y\)-Koordinate bestimmen. Die Bahngleichung erhält man durch Elimination der Zeit aus den Bewegungsgleichungen. Aus \((1)\) folgt nämlich \(t = \frac{x}{{{v_{0,x}}}}\). Setzt man dies in \((2)\) ein, so ergibt sich
\[y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_{0,x}}}}} \right)^2} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{{{v_{0,x}}^2}} \cdot {x^2}\]
Die Bahn des horizontalen Wurfes hat also Parbelform, weshalb man sie auch als Wurfparabel bezeichnet.

 

Wurfweite \(x_{\rm{W}}\) des waagerechten Wurfs

Als Wurfweite des waagerechten Wurfs bezeichnet man die \(x\)-Koordinate nach der sogenannten Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\); dies ist die Zeit, welche der Körper zum Durchfallen der Höhe \(h\) benötigt.
\[{h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2 \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}}  \Rightarrow {x_{\rm{W}}} = {v_{0,x}} \cdot {t_{\rm{F}}} = {v_{0,x}} \cdot \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}} }\]

Aufgabe

Bestimmen Sie aus der Animation rechnerisch die Horizontalgeschwindigkeit \(v_{0,x}\) der Kugel, die Wurfweite \(x_{\rm{W}}\) und die Fallhöhe \(h\).

Lösung

Berechnung der Horizontalgeschwindigkeit:
                        \[{v_{0,x}} = \frac{{\Delta x}}{{\Delta t}} \Rightarrow {v_{0,x}} = \frac{{100{\rm{m}}}}{{5{,}0\,{\rm{s}}}} = 20\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
                        Berechnung der Wurfweite:
                        \[x_{\rm{W}} = v_{0,x} \cdot {t_{\rm{F}}} \Rightarrow x_{\rm{W}} = 20\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 5{,}3\,{\rm{s}} = 106\,{\rm{m}}\]
                        Berechnung der Fallhöhe: \[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_f}^2 \Rightarrow h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {5{,}3\,{\rm{s}}} \right)^2} = 138\,{\rm{m}}\]

Vektorielle Beschreibung (nur für Fortgeschrittene mit Kenntnissen in Vektorrechnung)

Neben der Komponentendarstellung von Ort und Geschwindigkeit kann man diese Größen - eher formal - auch durch Vektoren darstellen.

Diagramm der Bewegung
Abb.
2
Diagramm der Bewegung

Ortsvektor

Die Lage der Bahnpunkte im Koordinatensystem kann durch den zeitabhängigen Ortsvektor (Spaltenschreibweise) festgelegt werden:
\[\vec r(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{x(t)}\\{y(t)}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_{0x}} \cdot t}\\{\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\end{array}} \right)\]
In der Skizze sind die Ortsvektoren zu den Zeitpunkten \({{t_{1}}}\) und \({{t_{4}}}\) eingezeichnet.

Entfernung zum Ursprung (Länge des Vektors)
\[\left| {\vec r(t)} \right| = \sqrt {x{{(t)}^2} + y{{(t)}^2}} = \sqrt {{{\left( {{v_{0x}} \cdot t} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}} \right)}^2}} \]

Geschwindigkeitsvektor
\[\vec v(t) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_x}(t)}\\{{v_y}(t)}\end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}{{v_{0x}}}\\{g\cdot t}\end{array}} \right)\]

Betrag der resultierenden Geschwindigkeit
\[\left| {\vec v(t)} \right| = \sqrt {{v_x}{{(t)}^2} + {v_y}{{(t)}^2}} = \sqrt {{v_{0x}}^2 + {{\left( {g\cdot t} \right)}^2}} \]

Winkel zwischen dem Geschwindigkeitsvektor und der Horizontalen
\[\tan (\varphi ) = \frac{{{v_y}(t)}}{{{v_x}(t)}} = \frac{{g \cdot t}}{{{v_{0x}}}}\]

Das Wichtigste auf einen Blick

In x-Richtung bewegt sich er Körper gleichförmig, in y-Richtung gleichmäßig beschleunigt.

Du zerlegst die Ausgangsgeschwindigkeit \(v_0\) mit dem Abwurfwinkel \(\alpha\) in ihre x- und y-Komponente.

Die Bahngleichung \(y(x)\) erhälst du durch Elimination von \(t\) aus den Bewegungsgleichungen.

Die Flugbahn ist eine Parabel mit \(y(t)=y_0+\tan\left(\alpha\right) \cdot x - \frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2}\cdot x^2.\).

Viele interessante Bewegungen (Kugelstoß, Speerwurf, Kanonenkugel usw.) können nicht mit Hilfe der Gleichungen des horizontalen Wurfes beschrieben werden, da die Abwurfgeschwindigkeit \(\vec v_0\) einen Winkel \( \alpha\) mit der Horizontalen bildet.

Größen beim schiefen Wurf
Abb.
1
Wichtige Größen beim schiefen Wurf

Zerlegung der Bewegung in x- und y-Richtung

Um die Bewegungsabläufe beim schrägen bzw. schiefen Wurf mathematisch zu beschreiben, zerlegst du die Bewegung wie beim waagerechten Wurf zunächst in ihre beiden Bestandteile. Du zerlegst also die Anfangsgeschwindigkeit \(\vec{v}_0\) in den Teil \(\vec{v}_{0, x}\) in Richtung der x-Achse und den Teil \(\vec{v}_{0, y}\) in Richtung der y-Achse. Dies erledigst du bei bekanntem Abwurfwinkel \(\alpha\) rechnerisch mithilfe von Sinus und Kosinus.

Es folgt:\[\vec{v}_{0, x}=\vec{v}_{0}\cdot \cos{\alpha}\qquad \left(1\right)\]\[\vec{v}_{0, y}=\vec{v}_{0}\cdot \sin{\alpha}\qquad \left(2\right)\]

Zeit-Geschwindigkeits Gesetze

In x-Richtung wirken auf die Kugel nach dem Abwurf keine Kräfte. In x-Richtung führt die Kugel also eine gleichförmige Bewegung aus. In x-Richtung ergibt sich mit Gleichung \(\left(1\right)\) das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz betragsmäßig zu \[v_x(t)=v_{0,x}=v_{0}\cdot \cos{\left(\alpha\right)}\qquad \left(3\right)\]

In y-Richtung wirkt auf die Kugel wie beim Freien Fall die Erdbeschleunigung \(g\). In y-Richtung führt die Kugel also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus. In y- Richtung ergibt sich mit Gleichung \(\left(2\right)\) das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz betragsmäßig zu \[v_y(t)=v_{0,y}-g\cdot t=v_{0}\cdot \sin{\left(\alpha\right)}-g\cdot t\qquad \left(4\right)\]

Zeit-Orts Gesetze

Für das Zeit-Orts-Gesetz der gleichförmigen Bewegung in x-Richtung folgt mit Gleichung \(\left(3\right)\): \[x(t)=v_{0,x}\cdot t=v_{0}\cdot \cos{\left(\alpha\right)}\cdot t\qquad \left(5\right)\]

Für das Zeit-Orts-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung in y-Richtung folgt mit Gleichung \(\left(4\right)\) und der Abwurfhöhe \(y_0\): \[y(t)=y_0+v_{0,y}\cdot t=y_0+\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)} \right) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \qquad \left(6\right)\]

Merke

  Zeit-Orts-Gesetz Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz
x-Richtung \[x(t) = \left( {{v_0} \cdot \cos \left( \alpha  \right)} \right) \cdot t\] \[{v_x}(t) = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]
y-Richtung \[y(t) = {y_0} + \left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)} \right) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\] \[{v_y}(t) = {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right) - g \cdot t\]

Bahngleichung beim schrägen Wurf

Zur Bestimmung der Bahngleichung \(y(x)\) der Kugel, muss Du in Gleichung \(\left(6\right)\) die Zeitkomponente \(t\) eliminieren. Hierzu löst du zunächst die Gleichung \(\left(5\right)\) nach \(t\) auf

\[x(t)=v_{0}\cdot \cos{\left(\alpha\right)}\cdot t\Rightarrow t=\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)}\]

und setzt das Ergebnis in Gleichung \(\left(6\right)\) ein

\[y(t)=y_0+\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)} \right)\cdot \left(\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)}\right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left({\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)}}\right)^2.\]

Kürzen von \(v_0\) im mittleren Ausdruck, Ausquadrieren und Umstellen führt zu

\[y(t)=y_0+\left(\frac{\sin \left( \alpha  \right)}{\cos\left(\alpha\right)}\right) \cdot x - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2\cdot \left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2} \cdot x^2.\]

Mithilfe von \(\frac{\sin \left( \alpha  \right)}{\cos\left(\alpha\right)}=\tan\left(\alpha\right)\) ergibt sich die Bahngleichung zu

\[y(t)=y_0+\tan\left(\alpha\right) \cdot x - \frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2}\cdot x^2.\]

Die Flugbahn ist also eine Parabel.

Wurfweite für \(y_0=0\)

Für den Fall, dass die Kugel auf Bodenhöhe abgeworfen wird, lässt sich die Wurfweite \(x_w\) relativ einfach bestimmen. Die Bedingung für das Erreichen der Wurfweite ist \(y({t_{\rm{W}}}) = 0\). Somit ergibt sich für \({t_{\rm{W}}}\) die Beziehung
\[0 = {t_{\rm{W}}} \cdot \left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{W}}}} \right)\]
Die erste Lösung \({t_{\rm{W}}} = 0\) gehört zur Abwurfstelle. Für die zweite Lösung gilt
\[{t_{\rm{W}}} = \frac{{2 \cdot {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)}}{g}\]
Dies ist die Zeit, die vom Abwurf bis zur Auftreffstelle verstreicht. Damit ergibt sich die Wurfweite \({x_{\rm{W}}}\) durch Einstezen von \({t_{\rm{W}}}\) in die \(t\)-\(x\)-Gleichung
\[{x_{\rm{W}}} = x({t_{\rm{W}}}) = \frac{{2 \cdot {v_0}^2}}{g} \cdot \sin \left( \alpha  \right) \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]
Berücksichtigst du, dass \(\sin \left( \alpha  \right) \cdot \cos \left( \alpha  \right) = \frac{1}{2} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\) ist, so ergibt sich endgültig
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{v_0}^2}}{g} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\]
Du sieht, die Wurfweite ist proportional zum Quadrat der Abwurfgeschwindigkeit.

Verständnisaufgabe

Für welchen Abwurfwinkel \(\alpha \) wird nun die Wurfweite maximal unter der Annahme, dass \({{v_0}}\) konstant ist und \(y_0 = 0\rm{m}\)?

Lösung

Hierzu muss die Sinusfunktion ihren maximalen Wert \(1\) annehmen. Dies ist der Fall, wenn \({\alpha  = 45^\circ }\) ist. Damit ergibt sich also

Für \(y_0 = 0\rm{m}\) und bei fehlender Luftreibung erreicht man unter dem Abwurfwinkel \({\alpha  = 45^\circ }\) die größte Wurfweite.

Ist \(y_0\) verschieden von Null, so ist \({\alpha  = 45^\circ }\) hingegen in der Regel nicht der optimale Wurfwinkel!

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