Waagerechter und schräger Wurf

Da die Lageenergie vollständig in Bewegungsenergie umgewandelt wird, gilt\[{E_{{\rm{pot}}}} = {E_{{\rm{kin}}}} \Rightarrow m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} \Rightarrow v = \sqrt {2 \cdot g \cdot h} \]

Zuerst ergibt sich\[\left. {\begin{array}{*{20}{c}}{x = v \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{v}}\\{y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}}\end{array}} \right\} \Rightarrow y = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{v}} \right)^2}\]Auflösen nach \(x\) liefert\[{x^2} = \frac{{2 \cdot y \cdot {v^2}}}{g} \Rightarrow x = \sqrt {\frac{{2 \cdot y \cdot {v^2}}}{g}} \]Einsetzen des Zwischenergebnisses aus dem ersten Aufgabenteil liefert dann\[x = \sqrt {\frac{{2 \cdot y \cdot \left( {2 \cdot g \cdot h} \right)}}{g}}  = \sqrt {4 \cdot y \cdot h} \]

Die Lageenergie wird nicht nur Bewegungsenergie, sondern auch in Rotationsenergie der Kugel umgewandelt. Für diese Rotationsenergie gilt\[{E_{{\rm{Rot}}{\rm{,Kugel}}}} = \frac{1}{5} \cdot m \cdot {v^2}\]woraus sich dann ergibt
\[m \cdot g \cdot h = \frac{1}{2} \cdot m \cdot {v^2} + \frac{1}{5} \cdot m \cdot {v^2} = \frac{7}{{10}} \cdot m \cdot {v^2}\]