Viele interessante Bewegungen wie z.B. der Kugelstoß, der Speerwurf, der Flug einer Kanonenkugel usw. können nicht mit Hilfe der Gleichungen des waagerechten Wurfes beschrieben werden, da der Körper nicht horizontal, sondern "schräg nach oben" abgeworfen wird.
Wenn du in der Animation in Abb. 1 den Startknopf wählst, so wird ein Körper von einer Anfangshöhe \(h\) aus mit einer Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) "schräg nach oben geworfen". Der Körper steigt, erreicht seinen Scheitelpunkt, sinkt und trifft nach einiger Zeit auf dem Erdboden auf. Wir nennen diese Bewegung einen schrägen Wurf nach oben mit Anfangshöhe.
In der Animation kannst du dir folgende Informationen einblenden lassen:
- Eine Stroboskopaufnahme des Wurfs mit laufender Uhr, die beim Abwerfen des Körpers startet und beim Auftreffen auf den Erdboden stoppt.
- Ein nach rechts und oben orientiertes Koordinatensystem (\(x\)-\(y\)-System) mit dem Koordinatenursprung direkt unterhalb der Abwurfstelle auf dem Erdboden. In diesem Koordinatensystem werden wir den Wurf beschreiben.
- Die wichtigsten Größen des Wurfs: Anfangshöhe \(h\), Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) und Weite \(\alpha_0\) des Abwurfwinkels, Scheitelpunkt \(\left(x_{\rm{S}}|y_{\rm{S}}\right)\), Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) und Wurfweite \(w\).
- Das \(t\)-\(x\)-, das \(t\)-\(v_x\)-, das \(t\)-\(y\)-, das \(t\)-\(v_y\)- oder das \(t\)-\(a_y\)- Diagramm des Wurfs.
Beachte: Im gewählten Koordinatensystem gilt für die Weite des Abwurfwinkels \(\alpha_0>0\) und somit \(v_{x,0}=v_0 \cdot \cos\left(\alpha_0\right)>0\) und \(v_{y,0}=v_0 \cdot \sin\left(\alpha_0\right)>0\).
Prinzip der ungestörten Überlagerung (Superpositionsprinzip)
Aus der Animation und insbesondere dem \(t\)-\(x\)- und dem \(t\)-\(v_y\)-Diagramm kannst du folgendes erkennen:
- Der Körper bewegt sich in horizontaler \(x\)-Richtung gleichförmig mit konstanter Geschwindigkeit.
Die Geschwindigkeit ist gleich der horizontalen Komponente \(\vec v_{x,0}\) der Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) (vgl. Abb. 2).
Die horizontale Bewegung wird nicht durch die vertikale Bewegung beeinflusst.
- Der Körper bewegt sich in vertikaler \(y\)-Richtung wie bei einem (senkrechten) Wurf nach oben gleichmäßig beschleunigt.
Die Startgeschwindigkeit ist gleich der vertikalen Komponente \(\vec v_{y,0}\) der Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) (vgl. Abb. 2), die Beschleunigung ist wie beim Freien Fall \(-g\).
Die vertikale Bewegung wird nicht durch die horizontale Bewegung beeinflusst.
Die Bewegungen in horizontaler und vertikaler Richtung verlaufen also ungestört voneinander. Die Gesamtbewegung des Körpers ergibt sich durch die Überlagerung (Superposition) der horizontalen und der vertikalen Bewegungen.
Hinweis: Das Prinzip der ungestörten Überlagerung gilt allerdings nur, wenn Reibungskräfte wie z.B. der Luftwiderstand vernachlässigt werden.
Zerlegung der Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\) in \(x\)- und \(y\)-Komponente
Joachim Herz Stiftung
Wie oben gesagt startet die Wurfbewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit \(\vec v_0\). Die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung haben aber jeweils kleinere Anfangsgeschwindigkeiten; wir bezeichnen die Anfangsgeschwindigkeit in horizontaler Richtung (\(x\)-Achse) mit \(\vec{v}_{x,0}\) und die in vertikaler Richtung (\(y\)-Achse) mit \(\vec{v}_{y,0}\) (vgl. Abb. 2). Diese beiden Anfangsgeschwindigkeiten erhalten wir, indem wir die Anfangsgeschwindigkeit \(\vec{v}_0\) vektoriell in ihren horizontalen und ihren vertikalen Anteil zerlegen. Die Beträge \({v}_{x,0}\) und \({v}_{y,0}\) können wir bei bekanntem Abwurfwinkel der Weite \(\alpha_0\) mithilfe von Sinus ("Sinus gleich Gegenkathete durch Hypotenuse") und Kosinus ("Kosinus gleich Ankathete durch Hypotenuse") berechnen. Es gilt\[\cos\left( \alpha_0 \right) = \frac{v_{x,0}}{v_{0}} \Leftrightarrow v_{x,0}=v_{0}\cdot \cos\left( \alpha_0 \right)\]\[\sin\left( \alpha_0 \right) = \frac{v_{y,0}}{v_{0}} \Leftrightarrow v_{y,0}=v_{0}\cdot \sin\left( \alpha_0 \right)\]
Bewegungsgesetze des schrägen Wurfs nach oben mit Anfangshöhe
Beim schrägen Wurf nach oben mit Anfangshöhe handelt es sich in horizontaler Richtung um eine gleichförmige Bewegung und in vertikaler Richtung um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit.
Wenn wir den Wurf in einem nach rechts und oben orientierten Koordinatensystem (\(x\)-\(y\)-System) mit dem Koordinatenursprung direkt unterhalb der Abwurfstelle auf dem Erdboden.(vgl. Abb. 1) beschreiben, dann gilt:
- Die Anfangshöhe hat einen positiven Wert: \(h>0\).
- Die Anfangsgeschwindigkeit ist nach schräg oben gerichtet. Es gilt deshalb für die Weite des Abwurfwinkels \(\alpha_0>0\) und somit \(v_{x,0}=v_0 \cdot \cos\left(\alpha_0\right)>0\) und \(v_{y,0}=v_0 \cdot \sin\left(\alpha_0\right)>0\).
- Die Beschleunigung ist während des gesamten Wurfs nach unten gerichtet und hat den Wert \(a_y = -\,g\).
| Zeit-Ort-Gesetz | Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz | |
|---|---|---|
|
\(x\)-Richtung Gleichförmige Bewegung mit \(v_x = v_{x,0}\) |
\[x(t)=v_{x,0}\cdot t \quad (1)\] | \[v_x(t) = v_{x,0} \quad (2)\] |
|
\(y\)-Richtung Gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit Anfangsgeschwindigkeit mit \(a_y = -\,g\) |
\[y(t) = \frac{\;}{\;}\,{\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot t^2+v_{y,0}\cdot t + h \quad (3)\] |
\[v_y(t) = \frac{\;}{\;}\,g \cdot t + v_{y,0} \quad (4)\] |
Mit Hilfe der Bewegungsgesetze \((1)\) bis \((4)\) kann man zu jedem Zeitpunkt \(t\) die Ortskoordinaten \(x\) und \(y\) und die Geschwindigkeitskomponenten \(v_x\) und \(v_y\) des Körpers bestimmen.
Steigzeit und Koordinaten des Scheitelpunkts
Als Steigzeit \(t_{\rm{S}}\) bezeichnen wir die Zeitspanne vom Abwurf des Körpers bis zum Erreichen des Scheitelpunktes \(\rm{S}\), dem Punkt der Bahnkurve mit der größten \(y\)-Koordinate.
Nach der Steigzeit \(t_{\rm{S}}\), d.h. am Scheitelpunkt \(\rm{S}\), ist die \(y\)-Koordinate des Körpers maximal und die \(y\)-Komponete seiner Geschwindigkeit \(0\). Es gilt deshalb\[v_y(t_{\rm{S}})=0 \quad(5^{**})\]Mit Gleichung \((4)\) ergibt sich daraus\[-g \cdot {t_{\rm{S}}}+v_{y,0}=0 \quad (5^*)\]Löst man Gleichung \((5^*)\) nach \(t_{\rm{S}}\) auf, so ergibt sich für die Steigzeitzeit\[t_{\rm{S}} = \frac{v_{y,0}}{g} \quad (5)\]
Mit den Gleichungen \((1)\) und \((3)\) ergibt sich für die Koordinaten des Scheitelpunktes\[{\rm{S}}{\mkern 1mu} \left( {\frac{{{v_{x,0}} \cdot {v_{y,0}}}}{g}\left| {\frac{{{v_{y,0}}^2}}{{2 \cdot g}}} \right. + h} \right)\quad (6)\]Hinweis: Mit \(v_{x,0}=v_0 \cdot \cos\left(\alpha_0\right)\), \(v_{y,0}=v_0 \cdot \sin\left(\alpha_0\right)\) und \(\sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \alpha \right) = \frac{1}{2} \cdot \sin\left(2 \cdot \alpha\right)\) kann Gleichung \((6)\) auch geschrieben werden als\[{\rm{S}}\,\left(\frac{{v_0}^2 \cdot \sin \left( 2 \cdot \alpha_0 \right)}{2 \cdot g}\left|\frac{\left({v_0} \cdot \sin \left( \alpha_0 \right)\right)^2}{2 \cdot g} + h\right.\right) \quad (6^*)\]
Berechnung von Steigzeit und Koordinaten des Scheitelpunktes
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=80{,}0\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeiten \(v_{x,0}=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) bzw. \(v_{y,0}=30{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Steigzeit \(t_{\rm{S}}\) und die Koordinaten des Scheitelpunktes \(\rm{S}\).
Wurfzeit und Wurfweite
Als Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) bezeichnen wir die Zeitspanne vom Abwurf des Körpers bis zum Auftreffen auf den Boden.
Nach der Wurfzeit, d.h. zu dem Zeitpunkt \(t_{\rm{W}}\), an dem der Körper auf dem Boden auftrifft, ist seine Ortskoordinate \(0\). Es gilt deshalb\[y(t_{\rm{W}})=0 \quad(7^{**})\]Mit Gleichung \((2)\) ergibt sich daraus\[- {\textstyle{1 \over 2}}\cdot g \cdot {t_{\rm{W}}}^2+v_{y,0} \cdot {t_{\rm{W}}} + h=0 \quad (7^*)\]Löst man Gleichung \((7^*)\) nach \(t_{\rm{W}}\) auf, so ergibt sich für die Wurfzeit\[t_{\rm{W}} = \frac{v_{y,0} + \sqrt {{v_{y,0}}^2 + 2 \cdot g \cdot h} }{g} \quad (7)\]
Als Wurfweite \(w\) bezeichnen wir die Entfernung des Korpers zum Koordinatenursprung beim Auftreffen auf den Boden.
Die Wurfweite ist deshalb die Strecke, die der Körper während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) in horizontaler Richtung zurücklegt. Es gilt deshalb\[w=x\left(t_{\rm{W}}\right) \quad(8^{*})\]Mit Gleichung \((1)\) ergibt sich daraus\[w=v_{x,0} \cdot t_{\rm{W}} \quad(8)\]
Berechnung von Wurfzeit und Wurfweite
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=80{,}0\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeiten \(v_{x,0}=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) bzw. \(v_{y,0}=30{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) und die Wurfweite \(w\).
Gleichung der Bahnkurve
Die Gleichung der Bahnkurve erhält man durch Elimination der Zeit aus den Bewegungsgleichungen \((1)\) und \((3)\). Es ergibt sich\[y(x)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{g}{{v_{x,0}}^2} \cdot x^2 + \frac{v_{y,0}}{v_{x,0}} \cdot x + h \quad (9)\]Die Bahn des schrägen Wurfes hat also Parbelform, weshalb man sie auch als Wurfparabel bezeichnet.
Mit Hilfe der Gleichung der Bahnkurve \(y(x)\) lässt sich zu jeder \(x\)-Koordinate des Körpers die zugehörige \(y\)-Koordinate bestimmen.
Hinweis: Mit \(v_{x,0}=v_0 \cdot \cos\left(\alpha_0\right)\), \(v_{y,0}=v_0 \cdot \sin\left(\alpha_0\right)\) und \(\frac{\sin \left( \alpha_0 \right)}{\cos \left( \alpha_0 \right)} = \tan \left( \alpha_0 \right)\) kann Gleichung \((9)\) auch geschrieben werden als\[y(x)=-\frac{1}{2}\cdot \frac{g}{{v_{x,0}}^2} \cdot x^2 +\tan\left(\alpha_0\right) \cdot x + h \quad (9^*)\]
Bestimmung der Gleichung der Bahnkurve
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 betragen die Anfangshöhe \(h=80{,}0\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeiten \(v_{x,0}=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) bzw. \(v_{y,0}=30{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Bestimme aus diesen Angaben die Gleichung \(y(x)\) der Bahnkurve.
Bahngeschwindigkeit / Auftreffgeschwindigkeit
Joachim Herz Stiftung
Als Bahngeschwindigkeit \(\vec v\) bezeichnen wir die Geschwindigkeit des Körpers in Richtung der Bahnkurve.
Den Betrag \(v\) der Bahngeschwindigkeit kann man aus den Geschwindigkeitskomponenten \(v_x\) und \(v_y\) berechnen. Aus Abb. 3 ergibt sich mit dem Satz des PYTHAGORAS ("Hypotenusenquadrat gleich Summe der Kathetenquadrate")\[v = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2}\]Mit den Bewegungsgesetzen \((2)\) und \((4)\) ergibt sich daraus\[v=\sqrt {{v_{x,0}}^2 + {\left( -g\cdot t + v_{y,0}\right)}^2} \quad (8)\]
Als Auftreffgeschwindigkeit \(\vec v_{\rm{W}}\) bezeichnen wir die Bahngeschwindigkeit des Körpers zum Zeitpunkt \(t_{\rm{W}}\), also beim Auftreffen auf den Boden.
Aus Gleichung \((8)\) erhalten wir dann\[v_{\rm{W}}=\sqrt {{v_{x,0}}^2 + {\left( -g\cdot t_{\rm{W}} + v_{y,0}\right)}^2} \quad (8')\]
Neigungswinkel / Auftreffwinkel
Joachim Herz Stiftung
Als Neigungswinkel bezeichnen wir den Winkel zwischen der Horizontalen und der Bahnkurve des Körpers. Ist die Weite \(\alpha\) des Neigungswinkels positiv, dann steigt der Körper, ist die Winkelweite negativ, dann fällt der Körper.
Die Winkelweite \(\alpha\) kann man aus den Geschwindigkeitskomponenten \(v_x\) und \(v_y\) berechnen. Aus Abb. 4 ergibt sich unter Anwendung des Tangenssatzes im rechtwinkligen Dreieck ("Tangens gleich Gegenkathete durch Ankathete")\[\tan\left( \alpha \right) = \frac {v_y}{v_x}\]Mit den Bewegungsgesetzen \((2)\) und \((4)\) ergibt sich daraus\[\tan \left( \alpha \right) = \frac{-g \cdot t + v_{y,0}}{v_{x,0}} \quad (9)\]
Als Auftreffwinkel bezeichnen wir den Neigungswinkel des Körpers zum Zeitpunkt \(t_{\rm{W}}\), also beim Auftreffen auf den Boden.
Aus Gleichung \((9)\) erhalten wir dann\[\tan \left( \alpha_{\rm{W}} \right) =\frac{-g \cdot t_{\rm{W}} + v_{y,0}}{v_{x,0}} \quad (9')\]
Hinweis: Die Winkelweiten \(\alpha\) bzw. \(\alpha_{\rm{W}}\) lassen sich leicht mit Hilfe der Funktion \(\arctan\) (auf vielen Taschenrechnern auch als \(\tan^{-1}\) bezeichnet) aus \(\tan\left(\alpha\right)\) bzw. \(\tan\left(\alpha_{\rm{W}}\right)\) berechnen.
Berechnung von Auftreffgeschwindigkeit und Weite des Auftreffwinkels
Aufgabe
In der Animation in Abb. 1 betragen die Anfangshöhe \(h=80{,}0\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeiten \(v_{x,0}=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) bzw. \(v_{y,0}=30{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Berechne aus diesen Angaben den Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Auftreffgeschwindigkeit sowie die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Auftreffwinkels.