Viele interessante Bewegungen (Kugelstoß, Speerwurf, Kanonenkugel usw.) können nicht mit Hilfe der Gleichungen des horizontalen Wurfes beschrieben werden, da die Abwurfgeschwindigkeit \(\vec v_0\) einen Winkel \( \alpha\) mit der Horizontalen bildet.
Zerlegung der Bewegung in x- und y-Richtung
Um die Bewegungsabläufe beim schrägen bzw. schiefen Wurf mathematisch zu beschreiben, zerlegst du die Bewegung wie beim waagerechten Wurf zunächst in ihre beiden Bestandteile. Du zerlegst also die Anfangsgeschwindigkeit \(\vec{v}_0\) in den Teil \(\vec{v}_{0, x}\) in Richtung der x-Achse und den Teil \(\vec{v}_{0, y}\) in Richtung der y-Achse. Dies erledigst du bei bekanntem Abwurfwinkel \(\alpha\) rechnerisch mithilfe von Sinus und Kosinus.
Es folgt:\[\vec{v}_{0, x}=\vec{v}_{0}\cdot \cos{\alpha}\qquad \left(1\right)\]\[\vec{v}_{0, y}=\vec{v}_{0}\cdot \sin{\alpha}\qquad \left(2\right)\]
Zeit-Geschwindigkeit-Gesetze
In x-Richtung wirken auf die Kugel nach dem Abwurf keine Kräfte. In x-Richtung führt die Kugel also eine gleichförmige Bewegung aus. In x-Richtung ergibt sich mit Gleichung \(\left(1\right)\) das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz betragsmäßig zu \[v_x(t)=v_{0,x}=v_{0}\cdot \cos{\left(\alpha\right)}\qquad \left(3\right)\]
In y-Richtung wirkt auf die Kugel wie beim Freien Fall die Erdbeschleunigung \(g\). In y-Richtung führt die Kugel also eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung aus. In y- Richtung ergibt sich mit Gleichung \(\left(2\right)\) das Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz betragsmäßig zu \[v_y(t)=v_{0,y}-g\cdot t=v_{0}\cdot \sin{\left(\alpha\right)}-g\cdot t\qquad \left(4\right)\]
Zeit-Ort-Gesetze
Für das Zeit-Orts-Gesetz der gleichförmigen Bewegung in x-Richtung folgt mit Gleichung \(\left(3\right)\): \[x(t)=v_{0,x}\cdot t=v_{0}\cdot \cos{\left(\alpha\right)}\cdot t\qquad \left(5\right)\]
Für das Zeit-Orts-Gesetz der gleichmäßig beschleunigten Bewegung in y-Richtung folgt mit Gleichung \(\left(4\right)\) und der Abwurfhöhe \(y_0\): \[y(t)=y_0+\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} \qquad \left(6\right)\]
Merke
| Zeit-Orts-Gesetz | Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz | |
| x-Richtung | \[x(t) = \left( {{v_0} \cdot \cos \left( \alpha \right)} \right) \cdot t\] | \[{v_x}(t) = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha \right)\] |
| y-Richtung | \[y(t) = {y_0} + \left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\] | \[{v_y}(t) = {v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) - g \cdot t\] |
Bahngleichung beim schrägen Wurf
Zur Bestimmung der Bahngleichung \(y(x)\) der Kugel, muss Du in Gleichung \(\left(6\right)\) die Zeitkomponente \(t\) eliminieren. Hierzu löst du zunächst die Gleichung \(\left(5\right)\) nach \(t\) auf
\[x(t)=v_{0}\cdot \cos{\left(\alpha\right)}\cdot t\Rightarrow t=\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)}\]
und setzt das Ergebnis in Gleichung \(\left(6\right)\) ein
\[y(x)=y_0+\left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)} \right)\cdot \left(\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)}\right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left({\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha\right)}}\right)^2.\]
Kürzen von \(v_0\) im mittleren Ausdruck, Ausquadrieren und Umstellen führt zu
\[y(x)=y_0+\left(\frac{\sin \left( \alpha \right)}{\cos\left(\alpha\right)}\right) \cdot x - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{v_0^2\cdot \left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2} \cdot x^2.\]
Mithilfe von \(\frac{\sin \left( \alpha \right)}{\cos\left(\alpha\right)}=\tan\left(\alpha\right)\) ergibt sich die Bahngleichung zu
\[y(x)=y_0+\tan\left(\alpha\right) \cdot x - \frac{g}{2\cdot v_0^2 \cdot \left(\cos\left(\alpha\right)\right)^2}\cdot x^2.\]
Die Flugbahn ist also eine Parabel.
Wurfweite für \(y_0=0\)
Für den Fall, dass die Kugel auf Bodenhöhe abgeworfen wird, lässt sich die Wurfweite \(x_w\) relativ einfach bestimmen. Die Bedingung für das Erreichen der Wurfweite ist \(y({t_{\rm{W}}}) = 0\). Somit ergibt sich für \({t_{\rm{W}}}\) die Beziehung
\[0 = {t_{\rm{W}}} \cdot \left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{W}}}} \right)\]
Die erste Lösung \({t_{\rm{W}}} = 0\) gehört zur Abwurfstelle. Für die zweite Lösung gilt
\[{t_{\rm{W}}} = \frac{{2 \cdot {v_0} \cdot \sin \left( \alpha \right)}}{g}\]
Dies ist die Zeit, die vom Abwurf bis zur Auftreffstelle verstreicht. Damit ergibt sich die Wurfweite \({x_{\rm{W}}}\) durch Einstezen von \({t_{\rm{W}}}\) in die \(t\)-\(x\)-Gleichung
\[{x_{\rm{W}}} = x({t_{\rm{W}}}) = \frac{{2 \cdot {v_0}^2}}{g} \cdot \sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \alpha \right)\]
Berücksichtigst du, dass \(\sin \left( \alpha \right) \cdot \cos \left( \alpha \right) = \frac{1}{2} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\) ist, so ergibt sich endgültig
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{v_0}^2}}{g} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\]
Du sieht, die Wurfweite ist proportional zum Quadrat der Abwurfgeschwindigkeit.
Aufgabe
Für welchen Abwurfwinkel \(\alpha \) wird nun die Wurfweite maximal unter der Annahme, dass \({{v_0}}\) konstant ist und \(y_0 = 0\rm{m}\)?