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Aufgabe

Zeit-Ort- und Zeit-Geschwindigkeit-Gesetze des schrägen Wurfs

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Stroboskopaufnahme eines schrägen Wurfs und die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung

In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=60\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=28{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), die Weite des Anfangswinkels \(\alpha_0=45^\circ\) und \(g=10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

a)

Berechne die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) des dargestellten schrägen Wurfs. [Kontrollergebnis: \(6{,}0\,{\rm{s}}\)]

b)

Bestimme die Zeit-Ort-Terme \(x(t)\) und \(y(t)\) des dargestellten schrägen Wurfs.

Zeichne die Zeit-Ort-Graphen in zwei getrennten Diagrammen.

c)

Bestimme die Zeit-Geschwindigkeit-Terme \(v_x(t)\) und \(v_y(t)\) des dargestellten schrägen Wurfs.

Zeichne die Zeit-Geschwindigkeit-Graphen in zwei getrennten Diagrammen.

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a)

Die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) berechnet sich nach Gleichung \((8)\) des Grundwissens. Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[{{t_{\rm{W}}} = \frac{{28{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right)}}{{10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} + \frac{{\sqrt {{{\left( {28{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right)} \right)}^2} + 2 \cdot 10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \cdot 60\,{\rm{m}}} }}{{10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 6{,}0\,{\rm{s}}}\]

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Zeit-Ort-Diagramm der gleichförmigen Bewegung in \(x\)-Richtung
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Zeit-Ort-Diagramm der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Senkrechter Wurf nach oben ohne Anfangshöhe) in \(y\)-Richtung

Die Zeit-Ort-Terme \(x(t)\) und \(y(t)\) berechnen sich nach den Gleichungen \((1)\) und \((2)\) des Grundwissens. Einsetzen der gegeben Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[x(t) = 28{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \cos \left( {45^\circ } \right) \cdot t = 20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t\]\[y(t) = -\frac{1}{2} \cdot 10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot t^2+28{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right) \cdot t + 60\,\rm{m}= -5\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot t^2 + 20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot t + 60\,\rm{m}\]Die Abb. 2 und 3 zeigen die entsprechenden Diagramme.

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm der gleichförmigen Bewegung in \(x\)-Richtung
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm der gleichmäßig beschleunigten Bewegung (Senkrechter Wurf nach oben) in \(y\)-Richtung

Die Zeit-Geschwindigkeit-Terme \(v_x(t)\) und \(v_y(t)\) berechnen sich nach den Gleichungen \((3)\) und \((4)\) des Grundwissens. Einsetzen der gegeben Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[v_x(t) = 28{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \cos \left( {45^\circ } \right) = 20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]\[v_y(t) = - 10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot t + 28{,}3\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right)=- 10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot t + 20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]Die Abb. 4 und 5 zeigen die entsprechenden Diagramme.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Waagerechter und schräger Wurf