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Aufgabe

Wurfweite beim schrägen Wurf

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Beim schrägen Wurf gelten folgende Bewegungsgleichungen:

  x-Richtung y-Richtung
Zeit-Orts-Gesetz \[x(t) = \left( {{v_0} \cdot \cos \left( \alpha  \right)} \right) \cdot t\] \[y(t) = {y_0} + \left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)} \right) \cdot t - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2}\]
Zeit-Geschwindigkeits-Gesetz \[{v_x}(t) = {v_0} \cdot \cos \left( \alpha  \right)\] \[{v_y}(t) = {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right) - g \cdot t\]

Der Einfachheit halber wollen wir zunächst den etwas "konstruierten" Fall \(y_0 = 0\,\rm{m}\) betrachten, bei der die Kugel aus Bodenhöhe abgeworfen würde.

a) Bestimme für diesen einfachen Fall mithilfe der gegebenen Bewegungsgleichungen die Wurfweite \(x_{\rm{W}}\) in Abhängigkeit von der Abwurfgeschwindigkeit \(v_0\) und der Winkelweite \(\alpha\).

b) Erläutere, unter welchem Abwurfwinkel \(\alpha\) im Fall \(y_0 = 0\,\rm{m}\) die Kugel eine möglichst große Wurfweite erreicht.

 

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a)Bedingung für das Erreichen der Wurfweite ist \(y({t_{\rm{W}}}) = 0\). Somit ergibt sich für \({t_{\rm{W}}}\) die Beziehung
\[0 = {t_{\rm{W}}} \cdot \left( {{v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right) - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{W}}}} \right)\]
Die erste Lösung \({t_{\rm{W}}} = 0\) gehört zur Abwurfstelle. Für die zweite Lösung gilt
\[{t_{\rm{W}}} = \frac{{2 \cdot {v_0} \cdot \sin \left( \alpha  \right)}}{g}\]
Dies ist die Zeit, die vom Abwurf bis zur Auftreffstelle verstreicht. Damit ergibt sich die Wurfweite \({x_{\rm{W}}}\) durch Einstezen von \({t_{\rm{W}}}\) in die \(t\)-\(x\)-Gleichung
\[{x_{\rm{W}}} = x({t_{\rm{W}}}) = \frac{{2 \cdot {v_0}^2}}{g} \cdot \sin \left( \alpha  \right) \cdot \cos \left( \alpha  \right)\]
Berücksichtig man, dass \(\sin \left( \alpha  \right) \cdot \cos \left( \alpha  \right) = \frac{1}{2} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\) ist, so ergibt sich endgültig
\[{x_{\rm{W}}} = \frac{{{v_0}^2}}{g} \cdot \sin \left( {2 \cdot \alpha } \right)\]
Man sieht also, dass die Wurfweite proportional zum Quadrat der Abwurfgeschwindigkeit ist.

b) Die Wurfweite \({x_{\rm{W}}}\) wird maximal, wenn die Sinusfunktion in der obigen Formel ihren maximalen Wert \(1\) annimmt. Dies ist der Fall, wenn \({\alpha  = 45^\circ }\) ist. Für \(y_0 = 0\,\rm{m}\) und bei vernachlässigter Luftreibung erreicht man unter dem Abwurfwinkel \({\alpha  = 45^\circ }\) die größte Wurfweite.

Hinweis: Ist \(y_0\) verschieden von Null, so ist \({\alpha  = 45^\circ }\) in der Regel nicht der optimale Wurfwinkel. Schätzen Sie ab, aus welcher Höhe Sie die Kugel beim Stoß abwerfen. Ermitteln Sie mit dem Simulationsprogramm nun ihren optimalen Abwurfwinkel (geben Sie sich dabei eine beliebige Abwurfgeschwindigkeit vor). Wenn Sie auf das Simulieren verzichten möchten, so können Sie mit obigen Gleichungen bei einer von Null verschiedenen Abwurfhöhe versuchen ihren optimalen Wurfwinkel zu berechnen.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Waagerechter und schräger Wurf