Roger schmettert einen Tennisball von seiner eigenen Grundlinie des Feldes in horizontaler Richtung ohne Spin auf die Grundlinie von Rafaels Feld. Er rechnet damit, dass Rafael den Ball nicht mehr erreichen kann, wenn der Ball weniger als \(0{,}70\,\rm{s}\) bis zum Auftreffen auf der Grundlinie benötigt (Abb. 1).
Bei den folgenden Aufgaben soll der Luftwiderstand nicht berücksichtigt werden, der Wert für die Erdbeschleunigung sei \(9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Berechne die Geschwindigkeit, mit der Roger den Ball mindestens schmettern muss, damit Rafael den Ball nicht mehr erreichen kann. Kontrollergebnis: \(34\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \approx 120\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\)
Hinweis: Gute Spieler erreichen eine wesentlich höhere Geschwindigkeiten. Sie schlagen allerdings den Ball nicht in horizontaler Richtung, sondern unter einem Winkel gegenüber der Horizontalen.
b)
Berechne die Höhe, aus der Roger den Ball hierzu aufschlagen muss. Kontrollergebnis: \(2{,}4\,\rm{m}\)
c)
Bestimme die Gleichung der Bahnkurve des Balls.
d)
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der Ball auf der Grundlinie auftrifft.
e)
Berechne die Weite des Winkels, unter dem der Ball auf der Grundlinie auftrifft.
Wir nutzen ein Koordinatensystem mit der \(x\)-Achse nach rechts und der \(y\)-Achse nach oben, dessen Ursprung sich auf dem Erdboden genau unterhalb der Stelle befindet, an dem der Ball Rogers Schläger verlässt (Abb. 2). Es seien \(t\) die Zeit nach dem Aufschlag und \(\left(x|y\right) = \left(x(t)|y(t)\right)\) die Koordinaten des Balls im Koordinatensystem.
Gegeben sind die Wurfweite \(w=23{,}77\,\rm{m}\), die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}=0{,}70\,\rm{s}\) und der Ortsfaktor \(g=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Gesucht ist hier die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist \(v_0\) die Geschwindigkeit, die der Ball benötigt, um in \(x\)-Richtung in der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) die Wurfweite \(w\) zurückzulegen.
Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung nach rechts mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\), d.h.\[x(t) = {v_0} \cdot t\]Da der Ball nach der Zeitspanne \(t_{\rm{W}}\) auf dem Boden auftrifft, erhalten wir für die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) die Gleichung\[w = v_0 \cdot t_{\rm{W}}\]Auflösen dieser Gleichung nach \(v_0\) ergibt\[v_0=\frac{w}{t_{\rm{W}}}]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_0 = \frac{23{,}77\,\rm{m}}{0{,}70\,\rm{s}} =34\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
b)
Gesucht ist hier die Anfangshöhe \(h\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Anfangshöhe \(h\) die Länge der Strecke, die der Ball in \(y\)-Richtung während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) bis zum Aufprall bei \(y=0\) zurücklegt.
Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist ein freier Fall, d.h. eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten mit der Beschleunigung \(g\) und der Anfangshöhe \(h\), d.h.\[y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\]Da der Ball nach der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) auf dem Boden (\(y=0\)) auftreffen soll, erhalten wir für \(t_{\rm{W}}\) die Gleichung\[0 = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2} + h\]Auflösen dieser Gleichung nach \(h\) ergibt\[h = \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = \frac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot \left({0{,}70\,\rm{s}}\right)^2 = 2{,}4\,\rm{m}\]
c)
Wie in den Aufgabenteilen a) und b) bereits gesagt gilt für die Bewegungen in \(x\)-und in \(y\)-Richtung\[\left. \begin{array}{l}x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}\\y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\end{array} \right\}\Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2} + h = - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{{{v_0}^2}} \cdot {x^2} + h\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{\left({34\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}\right)^2} \cdot {x^2} + 2{,}4\,\rm{m} = - 0{,}0042\,\frac{1}{\rm{m}} \cdot {x^2} + 2{,}4\,\rm{m}\]
d)
Der Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Geschwindigkeit beim Auftreffen des Balls auf dem Boden ergibt sich nach dem Satz des PYTHAGORAS durch\[v_{\rm{W}} = \sqrt {{v_x}{{({t_{\rm{W}}})}^2} + {v_y}{{({t_{\rm{W}}})}^2}} \]Mit \(v_x(t_{\rm{W}}) = v_0\) (gleichförmige Bewegung in \(x\)-Richtung) und \({{v_y}({t_{\rm{W}}}) = - g \cdot {t_{\rm{W}}}}\) (gleichmäßig beschleunigte Bewegung in \(y\)-Richtung) erhalten wir\[{v_{\rm{W}}} = \sqrt {{v_0}^2 + {{\left( { - g \cdot {t_{\rm{W}}}} \right)}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{\rm{W}} = \sqrt {\left(34\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2 + \left( -9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 0{,}70\,\rm{s} \right)^2} = 35\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
e)
Die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Winkels zwischen dem Boden und der Flugbahn des Balls beim Auftreffen auf den Boden ergibt sich aus der Trigonometrie durch\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{{{v_y}(t_{\rm{W}})}}{{{v_x}(t_{\rm{W}})}}\]Mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil d) ergibt sich\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-g \cdot t_{\rm{W}}} {v_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 0{,}70\,\rm{s}} {34\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=-0{,}202\]und damit\[\alpha_{\rm{W}}=\arctan(-0{,}202)=-11^\circ\]
