Ein Volleyballer schmettert aus der Höhe \(2{,}5\,\rm{m}\) den über das Netz gestellten Ball horizontal und parallel zur Seitenlinie ("long line") mit der Geschwindigkeit \(12\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Sein Gegenspieler versucht, den Ball noch zu erreichen.
a)
Untersuche rechnerisch, ob der Schmetterball überhaupt im gegenerischen Feld auftrifft.
b)
Berechne, mit welcher Beschleunigung sich der Gegenspieler bewegen müsste, wenn er nach einer Reaktionszeit von \(0{,}30\,\rm{s}\) in Richtung des Balls hechtet.
Wir nutzen ein Koordinatensystem mit der \(x\)-Achse nach rechts und der \(y\)-Achse nach oben, dessen Ursprung sich auf dem Erdboden genau unterhalb der Stelle befindet, an dem der Ball geschmettert wird (Abb. 2). Es seien \(t\) die Zeit nach dem Schlag des Balls und \(\left(x|y\right) = \left(x(t)|y(t)\right)\) die Koordinaten des Balls im Koordinatensystem.
Gegeben sind die Anfangshöhe \(h=2{,}5\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=12\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und der Ortsfaktor \(g=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Zunächst benötigen wir die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) die Zeitspanne, die der Ball für die Bewegung in \(y\)-Richtung aus der Anfangshöhe \(h\) bis zum Aufprall bei \(y=0\) benötigen würde.
Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist ein freier Fall, d.h. eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten mit der Beschleunigung \(g\) und der Anfangshöhe \(h\), d.h.\[y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\]Da der Ball nach der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) im gegenerischen Feld (\(y=0\)) auftreffen soll, erhalten wir für \(t_{\rm{W}}\) die Gleichung\[0 = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2} + h\]Auflösen dieser Gleichung nach \(t_{\rm{W}}\) ergibt\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{2 \cdot 2{,}5\,\rm{m}}{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}} = 0{,}71\,\rm{s}\]
Nun berechnen wir die Wurfweite \(w\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfweite \(w\) die Länge der Strecke, die der Ball in \(x\)-Richtung während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) zurücklegt.
Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung nach rechts mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\), d.h.\[x(t) = {v_0} \cdot t\]Da der Ball nach der Zeitspanne \(t_{\rm{W}}\) im gegenerischen Feld auftrifft, erhalten wir für die Wurfweite \(w\) die Gleichung\[w = v_0 \cdot t_{\rm{W}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[w = 12\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 0{,}71\,\rm{s}=8{,}5\,\rm{m}\]Der Ball trifft also im gegnerischen Feld auf.
b)
Bei einer Wurfzeit von \(t_{\rm{W}} = 0{,}71\,\rm{s}\) und einer Reaktionszeit von \(0{,}30\,\rm{s}\) muss der Gegenspieler die Strecke von \(s = 5{,}0\,\rm{m}\) in einer Zeit von \(t=0{,}71\,\rm{s} - 0{,}30\,\rm{s} = 0{,}41\,\rm{s}\) zurücklegen. Gehen wir hierbei von einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit aus, so können wir die Gleichung\[s=\frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2\]nutzen. Auflösen dieser Gleichung nach \(a\) ergibt\[a=\frac{2 \cdot s}{t^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a=\frac{2 \cdot 5{,}0\,\rm{m}}{\left(0{,}41\,\rm{s}\right)^2}=59\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \approx 6 \cdot g\]Eine solche Beschleunigung wird der Gegenspieler kaum erreichen können.
