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Aufgabe

Schlagballweitwurf

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Bei den Bundesjugendspielen erzielte ein Schüler mit dem \(80\,\rm{g}\)-Ball eine Wurfweite von \(53\,\rm{m}\). Wir nehmen an, dass der Schüler den Ball unter dem optimalen Winkel von \(45^\circ\) abgeworfen hat und vernachlässigen die Größe des Schülers und den Luftwiderstand.

a)

Berechne den Betrag der Anfangsgeschwindigkeit, die der Schüler dem Ball mitgegeben hat.

b)

Berechne die maximale Höhe des Balls.

c)

Berechne die Dauer des Flugs des Balls.

d)

Berechne die Beschleunigung, die der Ball anfangs erfahren hat, wenn der Schüler mit seinem Arm eine Beschleunigungsstrecke von \(1{,}0\,\rm{m}\) ausnutzen konnte.

Vergleiche diese Beschleunigung mit der Erdbeschleunigung.

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a)

Gegeben sind die Weite \(\alpha_0=45^\circ\) des Anfangswinkels und die Wurfweite \(w=53\,\rm{m}\).

Gesucht ist der Betrag \(v_0\) der Anfangsgeschwindigkeit.

Stellt man Gleichung \((5^*)\) im Grundwissen nach \(v_0\) um, so ergibt sich\[w = \frac{{{v_0}^2 \cdot \sin \left( {2 \cdot {\alpha _0}} \right)}}{g} \Rightarrow {v_0} = \sqrt {\frac{{w \cdot g}}{{\sin \left( {2 \cdot {\alpha _0}} \right)}}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit 2 gültigen Ziffern Genauigkeit)\[{v_0} = \sqrt {\frac{{53\,{\rm{m}} \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}}{{\sin \left( {2 \cdot 45^\circ } \right)}}}  = 23\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \approx 83\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}\]

 

b)

Gegeben sind die Weite \(\alpha_0=45^\circ\) des Anfangswinkels und der Betrag \(v_0=23\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) der Anfangsgeschwindigkeit.

Gesucht ist die \(y\)-Koordinate \(y_{\rm{S}}\) des Scheitelpunktes der Wurfparabel.

Nach Gleichung \((7)\) im Grundwissen gilt für die \(y\)-Koordinate \(y_{\rm{S}}\) des Scheitelpunktes\[y_{\rm{S}}=\frac{\left({v_0} \cdot \sin \left( \alpha_0 \right)\right)^2}{2 \cdot g}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit 2 gültigen Ziffern Genauigkeit)\[{y_{\rm{S}}} = \frac{{{{\left( {23\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right)} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 13\,{\rm{m}}\]

c)

Gegeben sind die Weite \(\alpha_0=45^\circ\) des Anfangswinkels und der Betrag \(v_0=23\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) der Anfangsgeschwindigkeit.

Gesucht ist die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).

Nach Gleichung \((4)\) im Grundwissen gilt für die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\)\[{t_{\rm{W}}} = \frac{2 \cdot v_0 \cdot \sin \left( \alpha_0 \right)}{g}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit 2 gültigen Ziffern Genauigkeit)\[{t_{\rm{W}}} = \frac{{2 \cdot 23\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \sin \left( {45^\circ } \right)}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}}} = 3{,}3\,{\rm{s}}\]

d)

Gegeben sind der Betrag \(v_0=23\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) der Anfangsgeschwindigkeit udn die Beschleunigungsstrecke \(s=1{,}0\,\rm{m}\).

Gesucht ist die mittlere Beschleunigung \(\bar a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}}\).

Da wir die Geschwindigkeitsänderung \({\Delta v = {v_0} - 0 = {v_0}}\) bereits kennen, benötigen wir noch die Zeitspanne \(\Delta t\). Diese erhalten wir durch Umstellen der Gleichung \(s=\frac{1}{2} \cdot \bar a \cdot {\Delta t}^2\) nach \(\Delta t\)\[s = \frac{1}{2} \cdot \bar a \cdot \Delta {t^2} \Rightarrow \Delta t = \sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{{\bar a}}} \]Setzen wir diese Ergebnisse nun in Gleichung für die mittlere Beschleunigung ein, so erhalten wir\[\bar a = \frac{{\Delta v}}{{\Delta t}} = \frac{{{v_0}}}{{\sqrt {\frac{{2 \cdot s}}{{\bar a}}} }}\]Quadrieren dieser Gleichung und Auflösen nach \(\bar a\) ergibt\[\bar a = \frac{{\Delta {v^2}}}{{2 \cdot s}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (mit 2 gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\bar a = \frac{{{{\left( {23\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 1{,}0\,{\rm{m}}}} = 260\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} \approx 26 \cdot g\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Waagerechter und schräger Wurf