Aus dem Prospekt der Tourismuszentrale Beikenbach:
Sind Sie ein echter Power-Biker? Suchen Sie den ultimativen Wahnsinns-Kick? Dann brauchen Sie den Adrenalin-Jump über die \(150\,\rm{m}\) tiefe und \(5{,}0\,\rm{m}\) breite Beikbach-Klamm! Von der höheren Seite starten Sie; einen endlosen Augenblick lang haben sie nur den Wildbach tief unter sich, dann setzen sie auf der tieferen Seite, die \(3{,}0\,\rm{m}\) unterhalb der Absprungseite liegt, auf (Abb. 1).
Bei den folgenden Aufgaben soll der Luftwiderstand nicht berücksichtigt werden, der Wert für die Erdbeschleunigung sei \(9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
Hinweis: Für ein sicheres Aufsetzen des Bikers auf der tieferen Seite muss er \(1 \rm{m}\) weiter springen als die Beikbach-Klamm breit ist.
a)
Berechne die Zeitspanne vom Absprung des Bikers auf der höheren bis zu seinem Auftreffen auf der tieferen Seite. Kontrollergebnis: \(0{,}78\,\rm{s}\)
b)
Berechne die Geschwindigkeit, die der Biker beim Absprung von der höheren Seite mindestens haben muss, um sicher auf der tieferen Seite anzukommen. Kontrollergebnis: \(7{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\)
c)
Bestimme die Gleichung der Bahnkurve des Bikers.
d)
Berechne den Betrag der Geschwindigkeit, mit der der Biker auf der tieferen Seite auftrifft.
e)
Berechne die Weite des Winkels, unter dem der Biker auf der tieferen Seite auftrifft.
Wir nutzen ein Koordinatensystem mit der \(x\)-Achse nach rechts und der \(y\)-Achse nach oben, dessen Ursprung sich genau unterhalb des Absprungpunktes des Bikers, aber auf der Höhe der tieferen Seite befindet (Abb. 2). Es seien \(t\) die Zeit nach dem Absprung des Bikers und \(\left(x|y\right) = \left(x(t)|y(t)\right)\) die Koordinaten des Bikers in diesem Koordinatensystem.
Gegeben sind die Anfangshöhe \(h=3{,}0\,\rm{m}\), die Wurfweite \(w=5{,}0\,\rm{m}+1{,}0\,\rm{m}=6{,}0\,\rm{m}\) und der Ortsfaktor \(g=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Gesucht ist hier die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfzeitzeit \(t_{\rm{W}}\) die Zeitspanne, die der Biker für die Bewegung in \(y\)-Richtung aus der Anfangshöhe \(h\) bis zum Auftreffen auf der tieferen Seite bei \(y=0\) benötigt.
Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist ein freier Fall, d.h. eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten mit der Beschleunigung \(g\) und der Anfangshöhe \(h\), d.h.\[y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\]Da der Biker nach der Sprungzeit \(t_{\rm{W}}\) auf der tieferen Seite (\(y=0\)) auftreffen soll, erhalten wir für \(t_{\rm{W}}\) die Gleichung\[0 = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2} + h\]Auflösen dieser Gleichung nach \(t_{\rm{W}}\) ergibt\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{2 \cdot 3{,}0\,\rm{m}}{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}} = 0{,}78\,\rm{s}\]
b)
Gesucht ist hier die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) die Geschwindigkeit, die der Biker in \(x\)-Richtung haben muss, um während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) die Wurfstrecke \(w\) zurückzulegen.
Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung nach rechts mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\), d.h.\[x(t) = {v_0} \cdot t\]Da der Biker nach der Zeitspanne \(t_{\rm{W}}\) auf der tieferen Seite auftrifft, erhalten wir für die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) die Gleichung\[w = v_0 \cdot t_{\rm{W}}\]Auflösen dieser Gleichung nach \(v_0\) ergibt[v_0=\frac{w}{t_{\rm{W}}}\]]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_0=\frac{6{,}0\,\rm{m}}{0{,}78\,\rm{s}}=7{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \approx 28\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\]
c)
Wie in den Aufgabenteilen a) und b) bereits gesagt gilt für die Bewegungen in \(x\)-und in \(y\)-Richtung\[\left. \begin{array}{l}x = {v_0} \cdot t \Leftrightarrow t = \frac{x}{{{v_0}}}\\y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\end{array} \right\}\Rightarrow y = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {\left( {\frac{x}{{{v_0}}}} \right)^2} + h = - \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{{{v_0}^2}} \cdot {x^2} + h\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[y = - \frac{1}{2} \cdot \frac{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}{\left({7{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}\right)^2} \cdot {x^2} + 3{,}0\,\rm{m} = - 0{,}083\,\frac{1}{\rm{m}} \cdot {x^2} + 3{,}0\,\rm{m}\]
d)
Der Betrag \(v_{\rm{W}}\) der Geschwindigkeit beim Auftreffen des Bikers auf der tieferen Seite ergibt sich nach dem Satz des PYTHAGORAS durch\[v_{\rm{W}} = \sqrt {{v_x}{{({t_{\rm{W}}})}^2} + {v_y}{{({t_{\rm{W}}})}^2}} \]Mit \(v_x(t_{\rm{W}}) = v_0\) (gleichförmige Bewegung in \(x\)-Richtung) und \({{v_y}({t_{\rm{W}}}) = - g \cdot {t_{\rm{W}}}}\) (gleichmäßig beschleunigte Bewegung in \(y\)-Richtung) erhalten wir\[{v_{\rm{W}}} = \sqrt {{v_0}^2 + {{\left( { - g \cdot {t_{\rm{W}}}} \right)}^2}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[v_{\rm{W}} = \sqrt {\left(7{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\right)^2 + \left( -9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 0{,}78\,\rm{s} \right)^2} = 11\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]
e)
Die Weite \(\alpha_{\rm{W}}\) des Winkels zwischen dem Boden auf der tieferen Seite und der Flugbahn des Bikers beim Auftreffen auf der tieferen Seite ergibt sich aus der Trigonometrie durch\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{{{v_y}(t_{\rm{W}})}}{{{v_x}(t_{\rm{W}})}}\]Mit den Ergebnissen aus Aufgabenteil d) ergibt sich\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-g \cdot t_{\rm{W}}} {v_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[\tan (\alpha_{\rm{W}}) = \frac{-9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot 0{,}78\,\rm{s}} {7{,}7\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=-0{,}994\]und damit\[\alpha_{\rm{W}}=\arctan(-0{,}994)=-45^\circ\]
