Die Gegenspieler von James Bond versuchen mit einem Schnellboot zu entkommen. „007“ rast mit seinem Motorrad mit der Geschwindigkeit \(v\) über den Landungssteg, der \(4\,\rm{m}\) über der Wasseroberfläche verläuft. Seine Absicht ist es, nach einem freien Flug auf dem feindlichen \(5\,\rm{m}\) langen Boot zu „landen“. Die „Landefläche“ auf dem Boot befindet sich \(50\,\rm{cm}\) über der Wasseroberfläche.
Die Abbildung zeigt den Moment des Absprungs. Das Boot bewegt sich mit \({30\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) nach rechts.
Berechne, in welchem Geschwindigkeitsbereich sich James Bond beim Absprung seines Motorrads bewegen muss, damit er (mit der Mitte seines Motorrads) auf das Boot trifft.
Die Entfernung des Bootes vom Landungssteg zur Absprungzeit \(t = 0\rm{s}\) beträgt \( e = 10\rm{m}\), die Länge des Bootes \(l = 5\rm{m}\)
Der Ursprung des Koordinatensystems sei die Absprungkante des Steges. Dann gilt für das Niveau der „Landefläche“:
\[{y_0} = - (4{\rm{m}} - 0,50{\rm{m}}) = - 3,5{\rm{m}}\]
Zunächst wird die Flugzeit \(t_0\) mit der Gleichung für die Vertikalbewegung (Fall) ermittelt:
\[{y_0} = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_0}^2 \Rightarrow {t_0} = \sqrt { - \frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}} \]
Für den Weg \(s_{\rm{B}}\), den das Boot während dieser Zeit zurücklegt, gilt:
\[{s_{\rm{B}}} = {v_{\rm{B}}} \cdot {t_0}\]
Somit gilt für den minimalen horizontalen Flugweg:
\[{s_{\rm{min}}} = e + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_0}\]
In diesem Fall trifft der Mittelpunkt des Motorrads gerade noch am Heck des Bootes auf. Für den maximalen horizontalen Flugweg gilt:
\[{s_{\rm{max}}} = e + l + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_0}\]
In diesem Fall landet 007 auf der vorderen Spitze des Bootes.
Für die konstante horizontale Geschwindigkeit gilt damit, wenn man die Geschwindigkeit des Bootes \( v_0 = 30\,\rm{\frac{km}{h}} \approx 8{,}33\,\rm{\frac{m}{s}}\) verwendet:
\[{{v_{{\rm{min}}}} = \frac{{{s_{{\rm{min}}}}}}{{{t_0}}} = \frac{{e + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_0}}}{{{t_0}}} = \frac{e}{{{t_0}}} + {v_{\rm{B}}} = \frac{e}{{\sqrt { - \frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}} }} + {v_{\rm{B}}} \Rightarrow {v_{{\rm{min}}}} = \frac{{10{\rm{m}}}}{{\sqrt { - \frac{{2 \cdot ( - 3,5{\rm{m}})}}{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} }} + 8{,}33\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}} \approx 20{,}28\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}} \approx 73\,\rm{\frac{km}{h}} \]
\[{{v_{{\rm{max}}}} = \frac{{{s_{{\rm{max}}}}}}{{{t_0}}} = \frac{{e + l + {v_{\rm{B}}} \cdot {t_0}}}{{{t_0}}} = \frac{{e + l}}{{{t_0}}} + {v_B} = \frac{{e + l}}{{\sqrt { - \frac{{2 \cdot {y_0}}}{g}} }} + {v_{\rm{B}}} \Rightarrow {v_{{\rm{min}}}} = \frac{{10{\rm{m}} + 5{\rm{m}}}}{{\sqrt { - \frac{{2 \cdot ( - 3{,}5\,{\rm{m}})}}{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}} }} + 8{,}33\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}} \approx 26{,}11\,\frac{{{\rm{m}}}}{{\rm{s}}}} \approx 94\,\rm{\frac{km}{h}} \]
Die Geschwindigkeit von James Bond muss zwischen \({73\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) und \({94\,\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}}\) liegen.
