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Aufgabe

Gleichung der Bahnkurve beim schrägen Wurf

Schwierigkeitsgrad: leichte Aufgabe

Leite aus den Zeit-Ort-Gesetzen\[x(t) = v_0 \cdot \cos \left( \alpha_0 \right) \cdot t \quad (1)\]und\[y(t) = - \frac{1}{2}\cdot g \cdot t^2+ v_0 \cdot \sin \left( \alpha_0 \right) \cdot t + h \quad (2)\]die Gleichung \(y(x)\) der Bahnkurve beim schrägen Wurf her.

Tipp: Eliminiere mit Hilfe von Gleichung \((1)\) in Gleichung \((2)\) die Zeit \(t\).

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Zur Bestimmung der Gleichung \(y(x)\) der Bahnkurve musst du in Gleichung \((2)\) die Zeit \(t\) eliminieren. Hierzu löst du zunächst die Gleichung \((1)\) nach \(t\) auf (wir schreiben statt \(x(t)\) einfach nur \(x\))\[x=v_{0}\cdot \cos{\left(\alpha_0\right)}\cdot t\Leftrightarrow t=\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha_0 \right)}\]und setzt das Ergebnis in Gleichung \((2)\) ein (auch hier schreiben wir statt \(y(t)\) einfach nur \(y\))\[y=- \frac{1}{2} \cdot g \cdot \left({\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha_0\right)}}\right)^2+v_0 \cdot \sin \left( \alpha_0  \right) \cdot \left(\frac{x}{v_0\cdot \cos\left(\alpha_0 \right)}\right) +h\]Kürzen von \(v_0\) im mittleren Ausdruck, Ausquadrieren und Umstellen führt zu\[y=- \frac{1}{2} \cdot \frac{g}{\left( v_0\cdot \cos\left(\alpha_0\right)\right)^2} \cdot x^2+\frac{\sin \left( \alpha_0  \right)}{\cos\left(\alpha_0\right)} \cdot x +h\]Mithilfe von \(\frac{\sin \left( \alpha_0  \right)}{\cos\left(\alpha_0\right)}=\tan\left(\alpha_0\right)\) ergibt sich die Bahngleichung zu\[y(x)=- \frac{g}{2\cdot \left( v_0 \cdot \cos\left(\alpha_0\right)\right)^2}\cdot x^2+\tan\left(\alpha_0\right) \cdot x + h\]Die Flugbahn ist also eine Parabel.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Waagerechter und schräger Wurf