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Aufgabe

Gaudi im Schwimmbad

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Zwei Buben (je \(m_{\rm{B}}=50\,{\rm{kg}}\)) haben sich folgenden Spaß an der Wasserrutsche im Freibad ausgedacht: Sie rutschen nacheinander die \(h = 4{,}0{\rm{m}}\) hohe Rutschbahn mit dem Neigungswinkel \(\alpha  = 30^\circ \) herunter (die Reibungszahl für diese Gleitbewegung sei \({\mu _{\rm{GR,R}}} = 0{,}15\)). Im \({h^*} = 1{,}5\,{\rm{m}}\) tiefer liegenden Becken schwimmt ein \(1{,}5\,{\rm{m}}\) langes Schlauchboot (\({m_{\rm{Boot}}} = 15\,{\rm{kg}}\)), in welches die Buben "hineinrutschen" wollen.

a)Berechne die Geschwindigkeit \(v_{\rm{E}}\) eines Buben am Ende der Rutschbahn.

b)Berechne, wie lange der Bub auf der Bahn rutscht.

c)Berechne, wie weit die Mitte des Bootes vom Ende der Rutsche entfernt sein darf, wenn der 1. Bub genau in die Bootsmitte "treffen" will.

d)Berechne, mit welchem Geschwindigkeitsbetrag und unter welchem Winkel der Bub in das Boot trifft.

e)Berechne die horizontale Geschwindigkeit \(u\) des Bootes, nachdem der erste Bub gerade gelandet ist.

Die Bewegung des Bootes im Wasser soll vereinfacht als "Gleitreibungsvorgang" mit \({\mu _{GR,W}} = 0{,}40\) betrachtet werden.

f)Der zweite Bub rutscht nun auch. Er verlässt die Rutsche \(2,0\rm{s}\) nach dem Zeitpunkt zu dem der 1. Bub im Boot gelandet ist.

Untersuche, ob er das Boot noch treffen wird. Tipp: Genau hinschauen!

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a)Kinetische Energie am Bahnende: \({E_{{\rm{kin,E}}}}\) ; Reibungsarbeit: \({W_{\rm{R}}}\) ; Potentielle Energie am Bahnanfang: \({E_{{\rm{pot,A}}}}\) ; Rutschenlänge: \(l\)
Berechnen der Endgeschwindigkeit \(v_e\)
\[\begin{array}{l}{E_{{\rm{kin,E}}}} = {E_{{\rm{pot,A}}}} - {W_{\rm{R}}}\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{E}}}^2 = {m_{\rm{B}}} \cdot g \cdot h - {F_{\rm{N}}} \cdot {\mu _{{\rm{GR}}{\rm{,R}}}} \cdot \ell \\ \Leftrightarrow \frac{1}{2} \cdot {m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{E}}}^2 = {m_{\rm{B}}} \cdot g \cdot h - {m_{\rm{B}}} \cdot g \cdot \cos (\alpha ) \cdot {\mu _{{\rm{GR}}{\rm{,R}}}} \cdot \frac{h}{{\sin (\alpha )}}\\ \Rightarrow {v_{\rm{E}}} = \sqrt {2 \cdot g \cdot h \cdot \left( {1 - {\mu _{{\rm{GR}}{\rm{,R}}}} \cdot \frac{1}{{\tan (\alpha )}}} \right)} \end{array}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{v_{\rm{E}}} = \sqrt {2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 4,0{\rm{m}} \cdot \left( {1 - 0,15 \cdot \frac{1}{{\tan (30^\circ )}}} \right)}  = 7{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

b)Berechnen der Beschleunigung \(a_{\rm{res}}\)
\[{F_{{\rm{res}}}} = {F_{\rm{H}}} - {F_{\rm{R}}} \Leftrightarrow {m_{\rm{B}}} \cdot {a_{{\rm{res}}}} = {m_{\rm{B}}} \cdot g \cdot \sin (\alpha ) - {m_{\rm{B}}} \cdot g \cdot \cos (\alpha ) \cdot {\mu _{{\rm{GR}}{\rm{,R}}}} \Leftrightarrow {a_{{\rm{res}}}} = g \cdot \left( {\sin (\alpha ) - \cos (\alpha ) \cdot {\mu _{{\rm{GR}}{\rm{,R}}}}} \right)\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[{a_{{\rm{res}}}} = 9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \left( {\sin (30^\circ ) - \cos (30^\circ ) \cdot 0{,}15} \right) = 3{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Berechnen der Rutschzeit \(t\)
\[l = \frac{1}{2} \cdot {a_{{\rm{res}}}} \cdot {t^2} \Rightarrow t = \sqrt {\frac{{2 \cdot l}}{{{a_{{\rm{res}}}}}}}  = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{{{a_{{\rm{res}}}} \cdot \sin (\alpha )}}} \]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[t = \sqrt {\frac{{2 \cdot 4,0{\rm{m}}}}{{3,6\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot \sin (30^\circ )}}}  = 2{,}1\,{\rm{s}}\]

c)Berechnung der Wurfweite \({x_{\rm{W}}}\): Zuerst berechnet man die Fallzeit \({t_{\rm{F}}}\) für die Fallhöhe \({h^*}\):
\[\frac{1}{2} \cdot g \cdot {t_{\rm{F}}}^2 = {h^*} \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot {h^*}}}{g}}  \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot 1,5{\rm{m}}}}{{9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}}}  = 0{,}55\,{\rm{s}}\]
Damit ist die Wurfweite
\[{x_{\rm{W}}} = {v_{\rm{E}}} \cdot {t_{\rm{F}}} \Rightarrow {x_{\rm{W}}} = 7,6\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 0,55{\rm{s}} = 4{,}2\,{\rm{m}}\]
Die Mitte des Bootes muss also \(4,2\rm{m}\) von der Kante der Rutsche entfernt sein.

d)\[v = \sqrt {{{\left( {g \cdot t} \right)}^2} + {v_{\rm{E}}}^2}  \Rightarrow v = \sqrt {{{\left( {9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}55\,{\rm{s}}} \right)}^2} + {{\left( {7{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}  = 9{,}3\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]
\[\tan (\alpha ) = \frac{{g \cdot t}}{{{v_{\rm{E}}}}} \Rightarrow \tan (\alpha ) = \frac{{9{,}81\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}55\,{\rm{s}}}}{{7{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}} = 0{,}71 \Rightarrow \alpha  = 35^\circ \]

e)Man kann die Landung des Buben als inelastischen Stoß mit dem Boot auffassen. Nach dem Impulssatz (Berücksichtigung der Horizontalkomponente der Geschwindigkeit) gilt dann
\[{m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{E}}} = \left( {{m_{\rm{B}}} + {m_{{\rm{Boot}}}}} \right) \cdot u \Rightarrow u = \frac{{{m_{\rm{B}}} \cdot {v_{\rm{E}}}}}{{{m_{\rm{B}}} + {m_{{\rm{Boot}}}}}} \Rightarrow u = \frac{{50\,{\rm{kg}} \cdot 7{,}6\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{50\,{\rm{kg}} + 15\,{\rm{kg}}}} = 5{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

f)Das Boot führt nach der Landung des 1. Buben eine konstant verzögerte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit u aus, die bis zum Stillstand des Bootes dauert. Für den Betrag der Verzögerung \({a^*}\) gilt
\[{a^*} = g \cdot {f_{\rm{W}}} \Rightarrow {a^*} = 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 0{,}40 = 4{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}\]
Dauer der Beschleunigung:
\[v = {a^*} \cdot {t_{\rm{F}}} \Leftrightarrow {t_{\rm{F}}} = \frac{v}{{{a^*}}} \Rightarrow {t_{\rm{F}}} = \frac{{5{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{4{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}}}} = 1{,}5\,{\rm{s}}\]
Berechnung des Weges, den das Boot während der Zeit \({t^*} = 2,0{\rm{s}} + 0,55{\rm{s}} = 2,55{\rm{s}}\) zurücklegt, die der 2. Bub bis zum Auftreffen benötigt: Da \({t_{\rm{F}}} < {t^*}\) bewegt sich das Boot nur während \({t_{\rm{F}}}\):
\[x({t^*}) = x({t_{\rm{F}}}) = u \cdot {t_{\rm{F}}} - \frac{1}{2} \cdot {a^*} \cdot {t_{\rm{F}}}^2 \Rightarrow x = 5{,}8\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot 1{,}5\,{\rm{s}} - \frac{1}{2} \cdot 4{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot {\left( {1{,}5\,{\rm{s}}} \right)^2} = 4{,}2\,{\rm{m}}\]
Diese Strecke ist länger als die halbe Bootslänge, also trifft der 2. Bub nicht mehr ins Boot.