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Aufgabe

Bahngeschwindigkeit und Neigungswinkel beim waagerechten Wurf

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

HTML5-Canvas nicht unterstützt!
Abb. 1 Stroboskopaufnahme eines waagerechten Wurfs und die wichtigsten Größen zur Beschreibung der Bewegung

In der Animation in Abb. 1 beträgt die Anfangshöhe \(h=125\,\rm{m}\), die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(g=10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).

a)

Berechne die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) des dargestellten waagerechten Wurfs. [Kontrollergebnis: \(5{,}0\,\rm{s}\)]

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Skizze zur Herleitung des \(t\)-\(v\)-Terms beim waagerechten Wurf

Leite mit Hilfe von Abb. 2 den \(t\)-\(v\)-Term für den zeitlichen Verlauf der Bahngeschwindigkeit beim waagerechten Wurf her.

Gib den \(t\)-\(v\)-Term des dargestellten waagerechten Wurfs an.

Zeichne den zugehörigen \(t\)-\(v\)-Graphen in einem Diagramm.

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Skizze zur Herleitung des \(t\)-\(\alpha\)-Terms beim waagerechten Wurf

Leite mit Hilfe von Abb. 3 den \(t\)-\(\alpha\)-Term für den zeitlichen Verlauf der Weite des Neigungswinkels beim waagerechten Wurf her.

Gib den \(t\)-\(\alpha\)-Term des dargestellten waagerechten Wurfs an.

Zeichne den zugehörigen \(t\)-\(\alpha\)-Graphen in einem Diagramm.

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a)

Die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) berechnet sich nach Gleichung \((6)\) des Grundwissens. Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{2 \cdot 125\,\rm{m}}{10\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}}=5{,}0\,\rm{s}\]

b)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 4 \(t\)-\(v\)-Diagramm des waagerechten Wurfs

In der Skizze in Abb. 2 bilden die Vektoren \(\vec v_x\), \(\vec v_y\) und \(\vec v\) ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse \(\vec v\). Nach dem Satz des PYTHAGORAS gilt somit für die Beträge dieser drei Vektoren die Gleichung\[{v^2} = {v_x}^2 + {v_y}^2 \Rightarrow v = \sqrt {{v_x}^2 + {v_y}^2} \]Mit den Gleichungen \((3)\) und \((4)\) des Grundwissens erhalten wir\[v = \sqrt {{v_0}^2 + {{\left( { - g \cdot t} \right)}^2}}  = \sqrt {{v_0}^2 + {g^2} \cdot {t^2}} \]Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir\[v = \sqrt {{{\left( {20\, \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2} + {{\left( {10\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}} \right)}^2} \cdot {t^2}}  = \sqrt {400\,\frac{{{{\rm{m}}^2}}}{{{{\rm{s}}^2}}} + 100\,\frac{{{{\rm{m}}^2}}}{{{{\rm{s}}^4}}} \cdot {t^2}} \]Abb. 4 zeigt das entsprechende Diagramm.

c)
Joachim Herz Stiftung
Abb. 5 \(t\)-\(\alpha\)-Diagramm des waagerechten Wurfs

In der Skizze in Abb. 3 bilden die Vektoren \(\vec v_x\) und \(\vec v_y\) ein rechtwinkliges Dreieck. Nach dem Tangenssatz im rechtwinkligen Dreieck gilt somit für die Winkelweite \(\alpha\) und die Beträge dieser beiden Vektoren die Gleichung\[\tan \left( \alpha  \right) = \frac{{{v_y}}}{{{v_x}}} \Rightarrow \alpha  = \arctan \left( {\frac{{{v_y}}}{{{v_x}}}} \right)\]Mit den Gleichungen \((3)\) und \((4)\) des Grundwissens erhalten wir\[\alpha  = \arctan \left( {\frac{{ - g \cdot t}}{{{v_0}}}} \right)\]Setzen wir die gegebenen Werte ein, so erhalten wir\[\alpha  = \arctan \left( {\frac{{ - 10{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot t}}{{20{\mkern 1mu} \frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}} \right) = \arctan \left( { - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{\rm{s}}} \cdot t} \right)\]Abb. 5 zeigt das entsprechende Diagramm.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Waagerechter und schräger Wurf