Sehr gute Volleyballspieler können beim Aufschlag den Ball auf Geschwindigkeiten von bis zu \(140\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) beschleunigen.
Hinweis: Wir vernachlässigen in den Aufgabenteilen a) und b) die Größe und den Luftwiderstand des Balls und rechnen mit \(g=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Berechne, von welcher Höhe aus der Ball abgeschlagen werden muss, um beim Aufschlag über das Netz zu kommen. [Kontrollergebnis: \(2{,}69\,\rm{m}\)]
b)
Untersuche, ob ein Ball, der mit dieser Anfangsgeschwindigkeit und aus dieser Höhe aufgeschlagen wird, im gegnerischen Feld auftrifft.
c)
Erläutere, welchen Einfluss die Größe und der Luftwiderstand des Balls auf die Ergebnisse der Aufgabenteile a) und b) haben.
d)
Erläutere, wie sehr gute Volleyballer es schaffen, den Ball mit so hohen Anfangsgeschwindigkeiten in das gegenerische Feld zu platzieren.
Wir nutzen ein Koordinatensystem mit der \(x\)-Achse nach rechts und der \(y\)-Achse nach oben, dessen Ursprung sich auf dem Erdboden genau unterhalb der Stelle befindet, an dem der Ball aufgeschlagen wird (Abb. 2). Es seien \(t\) die Zeit nach dem Abschlag des Balls und \(\left(x|y\right) = \left(x(t)|y(t)\right)\) die Koordinaten des Balls im Koordinatensystem.
Gegeben sind die Anfangsgeschwindigkeit \(v_0=140\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}=38{,}9\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), die Netzhöhe von \(y_{\rm{N}}=2{,}43\,\rm{m}\), der Abstand von der Grundlinie zum Netz von \(x_{\rm{N}}=9{,}00\,\rm{m}\) und der Ortsfaktor \(g=9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\).
a)
Zunächst benötigen wir die Zeit \(t_{\rm{N}}\), die der Ball bis zum Netz benötigt.
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist \(t_{\rm{N}}\) die Zeitspanne, die der Ball für die Bewegung in \(x\)-Richtung mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\) bis zum Erreichen des Netzes bei \(x_{\rm{N}}\) benötigt.
Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung nach rechts mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\), d.h.\[x(t) = {v_0} \cdot t\]Da der Ball nach der Zeitspanne \(t_{\rm{N}}\) am Netz bei \(x_{\rm{N}}\) ankommt, erhalten wir für die Zeitspanne \(t_{\rm{N}}\) die Gleichung\[x_{\rm{N}} = v_0 \cdot t_{\rm{N}} \Leftrightarrow t_{\rm{N}}=\frac{x_{\rm{N}}}{v_0}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t_{\rm{N}} = \frac{9{,}00\,\rm{m}}{38{,}9\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}=0{,}231\,\rm{s}\]Der Ball befindet sich also nach \(0{,}231\,\rm{s}\) am Netz.
Nun berechnen wir die Höhe \(h\), aus der der Ball abgeschlagen werden muss, damit er über das Netz kommt.
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, darf sich der Ball nach der Zeitspanne \(t_{\rm{N}}\) in \(y\)-Richtung aus der Anfangshöhe \(h\) nur bis zur Netzhöhe \(y_{\rm{N}}\) nach unten bewegt haben.
Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist ein freier Fall, d.h. eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten mit der Beschleunigung \(g\) und der Anfangshöhe \(h\), d.h.\[y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\]Da sich der Ball nach der Zeitspanne \(t_{\rm{N}}\) auf der Netzhöhe \(y_{\rm{N}}\) befinden soll, erhalten wir für \(h\) die Gleichung\[y_{\rm{N}} = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{N}}}^2} + h\]Auflösen dieser Gleichung nach \(h\) ergibt\[h = y_{\rm{N}} + \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{N}}}^2}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[h = 2{,}43\,\rm{m}+\frac{1}{2} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2} \cdot {\left(0{,}231\,\rm{s}\right)^2} = 2{,}69\,\rm{m}\]Der Ball muss also aus einer Höhe von \(2{,}69\,\rm{m}\) abgeschlagen werden, damit er über das Netz kommt.
b)
Zunächst benötigen wir die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) die Zeitspanne, die der Ball für die Bewegung in \(y\)-Richtung aus der Anfangshöhe \(h\) bis zum Aufprall bei \(y=0\) benötigen würde.
Die Bewegung in \(y\)-Richtung ist ein freier Fall, d.h. eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung nach unten mit der Beschleunigung \(g\) und der Anfangshöhe \(h\), d.h.\[y(t) = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {t^2} + h\]Da der Ball nach der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) im gegenerischen Feld (\(y=0\)) auftreffen soll, erhalten wir für \(t_{\rm{W}}\) die Gleichung\[0 = - \frac{1}{2} \cdot g \cdot {{t_{\rm{W}}}^2} + h\]Auflösen dieser Gleichung nach \(t_{\rm{W}}\) ergibt\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{{2 \cdot h}}{g}} \]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[t_{\rm{W}} = \sqrt {\frac{2 \cdot 2{,}69\,\rm{m}}{9{,}81\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}}} = 0{,}741\,\rm{s}\]
Nun berechnen wir die Wurfweite \(w\).
Da die Bewegungen in \(x\)- und in \(y\)-Richtung unabhängig voneinander sind, ist die Wurfweite \(w\) die Länge der Strecke, die der Ball in \(x\)-Richtung während der Wurfzeit \(t_{\rm{W}}\) zurücklegt.
Die Bewegung in \(x\)-Richtung ist eine gleichförmige Bewegung nach rechts mit der Anfangsgeschwindigkeit \(v_0\), d.h.\[x(t) = {v_0} \cdot t\]Da der Ball nach der Zeitspanne \(t_{\rm{W}}\) im gegenerischen Feld auftrifft, erhalten wir für die Wurfweite \(w\) die Gleichung\[w = v_0 \cdot t_{\rm{W}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[w = 38{,}9\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}} \cdot 0{,}741\,\rm{s}=28{,}8\,\rm{m}\]Der Ball trifft also nicht im gegnerischen Feld, sondern mehr als \(10\,\rm{m}\) dahinter auf.
c)
In unseren bisherigen Rechnungen haben wir den Volleyball als Massenpunkt ohne Ausdehnung betrachtet. Wollen wir die Größe des Balls mit berücksichtigen, dann muss der Schwerpunkt des Balls um seinen Radius, also ca. \(10{,}5\,\rm{cm}\), höher abgeschlagen werden.
Der Luftwiderstand sorgt dafür, dass der relativ leichte Volleyball mit einer Masse von ca. \(270\,\rm{g}\) schnell an Geschwindigkeit verliert. Dies wirkt sich während des Wurfs vor allem auf die große horizontale Geschwindigkeit aus, so dass der Ball länger bis zum Netz benötigt. In dieser längeren Zeit bewegt sich der Ball dann weiter nach unten und kommt möglicherweise nicht mehr über das Netz.
Aufgrund der relativ geringen vertikalen Geschwindigkeit des Balls verkürzt sich die Wurfzeit durch die Luftreibung nur unwesentlich. Im weiteren Verlauf des Wurfs könnte der Luftwiderstand und die geringere horizontale Geschwindigkeit aber dazu führen, dass der Ball in der Wurfzeit nicht mehr so weit fliegt und dann doch im gegnerischen Feld auftrifft. Ob das aber einen Unterschied von mehr als \(10\,\rm{m}\) ausmacht bleibt fraglich.
d)
Sehr gute Volleyballspieler nutzen mehrere "Tricks", um den Ball trotz hoher Aufschlaggeschwindigkeiten über das Netz und in das gegenerische Feld zu platzieren:
Der Aufschlag erfolgt aus einer größeren als der notwendigen Höhe. Dann kann der Ball schon mit einem kleinen Winkel nach unten und möglicherweise noch mit einem kleinen Drall nach unten aufgeschlagen werden. Dadurch verkürzt sich die Wurfzeit und damit die Wurfweite.
Der Aufschlag geschieht gar nicht hinter der Grundlinie, sondern im eigenen Feld näher am Netz. Dies ist erlaubt, da der aufschlagende Spieler lediglich außerhalb des eigenen Feldes abspringen muss. Dadurch kann der Ball noch weiter nach unten geschlagen werden, was die Wurfzeit und damit die Wurfweite noch weiter verkürzt.
