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Grundwissen

TORRICELLI-Gleichung

Das Wichtigste auf einen Blick

CC-BY-NC 4.0 Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Ausfluss aus einem großen Behälter - TORRICELLI-Gleichung

Betrachten wir einen oben offenen, großen und gefüllten Behälter, z.B. eine Regentonne, die unten ein Loch hat.

Die Austrittsgeschwindigkeit des Wasserstrahls an der Öffnung (und damit der Auftreffpunkt des Wasserstrahls auf dem Boden) hängt nur vom Füllstand des Behälters ab, nicht von dessen Form und nicht von der Größe der Austrittsöffnung. Das widerspricht vollkommen der Intuition, kann aber mit der BERNOULLI-Gleichung erklärt werden.

Für einen Stromfaden von 1 nach 2 gilt\[\rho \cdot g \cdot h_1 + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 + p_1 = \rho \cdot g \cdot h_2 + \frac{1}{2} \rho \cdot v_2^2 + p_2\]Mit der Annahme, dass der Behälter groß ist, folgt, dass sich der Wasserspiegel nicht ändert. Deswegen kann \(v_1 = 0 \rm {\frac{m}{s}}\) gesetzt werden.\[\rho \cdot g \cdot h_1 + p_1 = \rho \cdot g \cdot h_2 + \frac{1}{2} \rho \cdot v_2^2 + p_2\]Mit dem angegebenen Koordinatensystem gilt für die Höhe \(h_2 = 0 \ \rm{m}\).\[\rho \cdot g \cdot h_1 + p_1 = \frac{1}{2} \rho \cdot v_2^2 + p_2\]Der Druck am Wasserspiegel und am Austritt entspricht jeweils dem Umgebungsdruck:\[\rho\cdot g \cdot h_1 + p_\infty = \frac{1}{2} \rho \cdot v_2^2+p_{\infty}\]Daraus folgt\[v_2 = \sqrt{2 \cdot g \cdot h_1}\]In der Formel für die Austrittsgeschwindigkeit taucht der Querschnitt der Austrittsöffnung nicht auf. Damit ist auch der Auftreffpunkt des Wasserstrahls nicht von diesem Querschnitt abhängig.

Hinweise

  • Der austretende Strahl folgt bei Reibungsfreiheit der Form einer Parabel (Wurfparabel).
  • In der Praxis treten durch die Form der Austrittsöffnung (z.B. verrundet oder scharfkantig) und durch die Einschnürung des Wasserstrahls teilweise starke Abweichungen der Austrittsgeschwindigkeit vom theoretischen Wert auf. Trotzdem zeigen auch einfache Experimente (wie beschrieben) eine verblüffende Übereinstimmung.

Diese Formel wurde von dem italienischen Mathematiker und Physiker Evangelista TORRICELLI (1608 - 1647) gefunden und ist so berühmt, dass sie den Namen TORRICELLI-Gleichung erhalten hat.