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Grundwissen

Kontinuitätsgleichungen

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Jeder hat schon mal einen Gartenschlauch in der Hand gehalten. Dieser ist an einem Wasserhahn angeschlossen und hat am Ende meistens eine verstellbare Düse. Dreht man den Wasserhahn auf und ist die Düse geöffnet, spritzt Wasser aus der Düse. Je nach Einstellung des Wasserhahns und der Düse spritzt der Gartenschlauch weiter oder weniger weit.

Warum der Gartenschlauch allerdings bei unterschiedlichen Düseneinstellungen weiter oder weniger weit, oder gar wie weit er genau spritzt, ist gar nicht so einfach zu sagen, dazu müssen wir uns das System Gartenschlauch einmal genauer ansehen.

CC-BY-NC 4.0 Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 3 Stromröhre

Wir idealisieren den Gartenschlauch als ein gleichmäßig durchströmtes Rohr, eine sogenannte Stromröhre. Eine derartige Strömung heißt stationäre Strömung, denn egal, wann wir ein Foto von dieser Strömung machen, es wird immer annähernd das gleiche Bild entstehen. Würde der Gartenschlauch dagegen von einer Handpumpe mit Wasser versorgt, so würde sich die Strömung bei jeder Auf- und Abbewegung der Pumpe ändern, die Strömung wäre nicht stationär.

Wenn wir am linken Ende der gefüllten Stromröhre in Abb. 3 eine Flüssigkeitsmenge der Masse \(m_1\) in die Stromröhre hineingeben,  dann muss am rechten Ende der Stromröhre eine Flüssigkeitsmenge der Masse \(m_2\) herauskommen. Aus unserer Alltagserfahrung wissen wir nun, dass Materie nicht verloren geht und auch die Masse einer bestimmten Menge von Materie konstant bleibt. Diese Erfahrung übernehmen wir in die Physik und bezeichnen sie als Massenerhaltung. Diese Massenerhaltung von Materie führt uns bei unserem Gartenschlauch zu der Gleichung\[{m_1} = {m_2} \quad(1)\]Für die beiden Massen \(m_1\) und \(m_2\) gelten nun mit der bekannten Formel \(m=\rho \cdot V\) die Beziehungen \({m_1} = {\rho _1} \cdot {V_1}\) und \({m_2} = {\rho _2} \cdot {V_2}\). Warum nicht das gleiche \(\rho\) und das gleiche \(V\)? Möglicherweise ist die Flüssigkeit in der Stromröhre zusammengedrückt worden und hat deswegen ein kleineres Volumen und eine größere Dichte. Setzen wir diese Beziehungen in die erste Gleichung ein, dann erhalten wir\[{\rho _1} \cdot {V_1}={\rho _2} \cdot {V_2} \quad(2)\]Hat die Stromröhre links die Querschnittsfläche \(A_1\), so nimmt die hineinfließende Flüssigkeitsmenge in der Stromröhre links die Länge \(l_1\) mit \(V_1=A_1 \cdot l_1\) ein. Entsprechend gilt rechts mit der Querschnittsfläche \(A_2\) und der Länge \(l_2\) die Beziehung \(V_2=A_2 \cdot l_2\). Damit erhalten wir\[{\rho _1} \cdot {A_1} \cdot {l_1} = {\rho _2} \cdot {A_2} \cdot {l_2} \quad(3)\]Wir nehmen nun an, dass wir die Flüssigkeitsmenge \(m_1\) links in einer Zeit \(t\) in die Stromröhre einbringen und in der gleichen Zeit \(t\) die Flüssigkeitsmenge \(m_2\) die Stromröhre rechts wieder verlässt. Da die Stromröhre gleichmäßig (also ohne Beschleunigung an Eingang und Ausgang) durchströmt wird, gilt nun für die Geschwindigkeiten des Fluids am linken und am rechten Ende\[v_1=\frac{l_1}{t}\;\;\rm{und}\;\;v_2=\frac{l_2}{t}\quad(4)\]Teilen wir nun Gleichung \((3)\) durch \(t\)\[\frac{m_1}{t}= \frac{{\rho_1  \cdot {l_1} \cdot {A_1}}}{t} = \frac{{\rho_2  \cdot {l_2} \cdot {A_2}}}{t}=\frac{m_2}{t}\]und nutzen die Gleichungen in \((4)\), so erhalten wir\[\frac{m_1}{t}=\rho_1  \cdot {v_1} \cdot {A_1} = \rho_2  \cdot {v_2} \cdot {A_2}=\frac{m_2}{t} \quad(5)\]Die Größe \(\frac{m}{t}\) bezeichnet man als Massenstrom. Man schreibt auch kurz \(\dot{m}\) (Sprich „m Punkt“). Wir erhalten somit folgendes Ergebnis:

Kontinuitätsgleichung bei stationären Strömungen

Bei einer stationären Strömung ist wegen der Massenerhaltung der Massenstrom \(\dot{m}=\frac{m}{t}=\rho \cdot A \cdot v\) an allen Querschnittsflächen einer Stromröhre konstant. Für die Einheit des Massenstroms gilt \(\left[ {\dot m} \right] = 1\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{\rm{s}}}\).

Für zwei Querschnittsflächen 1 und 2 gilt somit\[{\rho _1} \cdot {A_1} \cdot {v_1} = {\rho _2} \cdot {A_2} \cdot {v_2}\]

Nehmen wir zusätzlich an, dass das Fluid inkompressibel ist, sich also nicht komprimieren d.h. zusammendrücken lässt, so muss die Dichte \(\rho_1\) gleich der Dichte \(\rho_2\) sein. Damit ergibt Gleichung \((5)\) nun \[\frac{m_1}{t}=\rho  \cdot {v_1} \cdot {A_1} = \rho  \cdot {v_2} \cdot {A_2}=\frac{m_2}{t} \quad(5^*)\]Teilen wir nun Gleichung \((5^*)\) durch \(\rho\), so erhalten wir mit \(\frac{m}{\rho } = V\) bzw. \(\frac{\dot m}{\rho } = \dot V\)\[\frac{V_1}{t}={v_1} \cdot {A_1} = {v_2} \cdot {A_2}=\frac{V_2}{t} \quad(6)\]Die Größe \(\frac{V}{t}\) bezeichnet man als Volumenstrom. Man schreibt auch kurz \(\dot{V}\) (Sprich „V Punkt“). Wir erhalten somit folgendes Ergebnis:

Kontinuitätsgleichung bei stationären Strömungen für inkompressible Fluide

Bei einer stationären Strömung einer inkompressiblen Fluids ist wegen der Massenerhaltung und der konstanten Dichte des Fluids der Volumenstrom \(\dot{V}=\frac{V}{t}=A \cdot v\) an allen Querschnittsflächen einer Stromröhre konstant. Für die Einheit des Volumenstroms gilt \(\left[ {\dot V} \right] = 1\,\frac{{{\rm{m}^3}}}{{\rm{s}}}\), in der Praxis rechnet man oft mit \(\left[ {\dot V} \right] = 1\frac{\ell }{{{\rm{min}}}}\).

Für zwei Querschnittsflächen 1 und 2 gilt somit\[{A_1} \cdot {v_1} = {A_2} \cdot {v_2}\]

Es ist interessant, dass diese beiden Gleichungen auch gelten, wenn man Reibungseffekte und Strömungswiderstand berücksichtigt. Oft werden Reibungseinflüsse bei Herleitungen von physikalischen Formeln zur Vereinfachung explizit ausgeschlossen. Wir haben aber bei der Herleitung keinerlei Einschränkungen gemacht.

Uns wird nun auch sofort klar, warum der Strahl aus dem Gartenschlauch bei verschiedenen Düseneinstellungen unterschiedlich weit spritzt. Wenn nämlich die Düse verengt wird, muss dort die Strömungsgeschwindigkeit ansteigen und der Strahl spritzt weiter. Wenn man die Düse erweitert, passiert das Gegenteil.

Den Strahl kann man näherungsweise gut mit der Wurfparabel (s. waagrechter und schiefer Wurf) beschreiben. Natürlich spielt der Luftwiderstand dabei eine große Rolle.

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