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Grundwissen

BERNOULLI-Gleichung

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Als erster hat der Schweizer Mathematiker und Physiker Daniel BERNOULLI (1700 - 1782) die Konsequenzen der Energieerhaltung für Strömungen formuliert. Deswegen wird diese auch BERNOULLI-Gleichung genannt.

Mit Hilfe der BERNOULLI-Gleichung findet man einen Zusammenhang zwischen der Strömungsgeschwindigkeit und dem Druck. Diesen Zusammenhang leitet man wieder mit Hilfe der gedachten Stromröhre ab. Die Strömung ist stationär, inkompressibel und verlustfrei. Verlustfrei bedeutet, dass die in der Strömung enthaltene Energie sich auf dem Weg durch die Stromröhre nicht ändert, wir also von Energieerhaltung ausgehen können.

CC-BY-NC 4.0 Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Stromröhre zur Herleitung der BERNOULLI-Gleichung

Betrachten wir das linke Ende der Stromröhre. Durch den auf den Eintrittsquerschnitt \(A_1\) herrschenden Druck \(p_1\) "schiebt" eine Kraft mit \(F_1 = p_1 \cdot A_1\) Fluid mit dem Volumen \(V_1 = A_1 \cdot l_1\) in die Stromröhre. Dafür muss am Fluid die Arbeit \(W_1=F_1 \cdot l_1\) aufgebracht werden.

Aufgrund der Massen- bzw. Volumenerhaltung muss am rechten Ende der Stromröhre Fluid mit dem gleichen Volumen \(V_2 = A_2 \cdot l_2\) die Stromröhre wieder verlassen. Dabei muss das Fluid gegen den Druck \(p_2\) am Austritt "herausgeschoben" werden. Für die wirkende Kraft gilt hier \(F_2 = p_2 \cdot A_2\) und für die vom Fluid verrichtete Arbeit \(W_2=F_2 \cdot l_2\).

Im Allgemeinen ist die Arbeit \(W_1\) betraglich nicht gleich der Arbeit \(W_2\). Die Differenz\[\Delta W = {W_1} - {W_2} = {F_1} \cdot {l_1} - {F_2} \cdot {l_2} = {p_1} \cdot \underbrace {{A_1} \cdot {l_1}}_{ = \;{V_1} = \;V} - {p_2} \cdot \underbrace {{A_2} \cdot {l_2}}_{ = \;{V_2} = \;V} = {p_1} \cdot V - {p_2} \cdot V\]schlägt sich in der Änderung \(\Delta E\) der kinetischen und der potentiellen Energien nieder, die das Volumen erfährt:\[\Delta E = {E_2} - {E_1} = m \cdot g \cdot {h_2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 - m \cdot g \cdot {h_1} - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2\]Die gesamte Energiebilanz lautet demnach\[\Delta W = \Delta E\]und damit\[\begin{eqnarray}{p_1} \cdot V - {p_2} \cdot V &=& m \cdot g \cdot {h_2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 - m \cdot g \cdot {h_1} - \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2\\m \cdot g \cdot {h_1} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_1^2 + {p_1} \cdot V &=& m \cdot g \cdot {h_2} + \frac{1}{2} \cdot m \cdot v_2^2 + {p_2} \cdot V\end{eqnarray}\]Dividiert man noch beide Seiten der Gleichung durch \(V\) und nutzt die Beziehung \(\rho=\frac{m}{V}\) für die Dichte, vereinfacht sich die Gleichung zu\[\rho \cdot g \cdot {h_1} + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 + {p_1} = \rho \cdot g \cdot {h_2} + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + {p_2}\]Sie gilt für beliebige Punkte in der Stromröhre, womit folgt\[\rho \cdot g \cdot h + \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot {v^2} + p = {\rm{konstant}}\]

BERNOULLI-Gleichung

Ist eine Strömung stationär, das Fluid inkompressibel und die Strömung verlustfrei, dann gilt für jeden Punkt der Stromröhre die sogenannte BERNOULLI-Gleichung\[\rho \cdot g \cdot h+\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2 + p=\rm{konst.}\]Sie besagt, dass die Summe der potentiellen Energie, der kinetischen Energie und der Druckenergie (also der verrichteten Arbeit) entlang der Stromröhre erhalten bleibt.

Hinweise
  • Alle Terme auf der linken Seite haben die Dimension eines Drucks. Man nennt dabei \(\rho \cdot g \cdot h\) den geodätischen Druck, \(\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v^2\) den dynamischen Druck oder auch Staudruck und \(p\) den statischen Druck.

  • Häufig spielt der Höhenunterschied in der Stromröhre keine Rolle und der erste Term kann weggelassen werden. Man erkennt dann sofort: Wenn die Geschwindigkeit ansteigt, muss der Druck sinken. Wenn der Druck ansteigt, muss die Geschwindigkeit sinken.

CC-BC-NC 4.0 Benedikt Flurl, Joachim Herz Stiftung
Abb. 2 Erklärung des Auftriebs mit der BERNOULLI-Gleichung.

Oft werden mit der BERNOULLI-Gleichung auch das Fliegen bzw. die Funktion einer Tragfläche beschrieben.

Aufgrund der Wölbung der Tragfläche des Flugzeugs und wegen des sogenannten Anfahrtswirbels ist die Geschwindigkeit der Luft oberhalb der Tragfläche größer als an deren Unterseite. Nach der BERNOULLI-Gleichung (die Höhendifferenz wird vernachlässigt) ist also der Druck an der Oberseite kleiner als an der Unterseite sein. Diese Druckdifferenz sorgt für eine Auftriebskraft auf die Tragfläche.

Diese sehr anschauliche Erklärung ist aber nicht vollständig, die Entstehung des Auftriebs ist deutlich komplizierter zu begründen.