Strömungslehre

Das Kräftegleichgewicht lautet\[F_{\rm{G}}=F_{\rm{VR}}+F_{\rm{A}}\]Nach unten wirkt die Gewichtskraft, nach oben die Reibungskraft und die (statische) Auftriebskraft durch die Verdrängung des Fluids. Alle drei Kräfte befinden sich bei konstanter Fallgeschwindigkeit im Gleichgewicht.

\begin{eqnarray}
&m \cdot g &= 6 \cdot \pi \cdot \eta \cdot r \cdot v + \rho_{Öl} \cdot V \cdot g& \\
&\rho_{Stahl}Vg &= 6\pi\eta rv + \rho_{Öl}Vg&
\end{eqnarray}
Mit der Volumenformel für die Kugel ergibt sich:
\[\rho_{Stahl}\frac{4}{3}r^3\pi g = 6\pi\eta rv + \rho_{Öl}\frac{4}{3}r^3\pi g\]
Mit der Länge der Messstrecke und der gemessenen Zeit gilt:
\[\rho_{Stahl}\frac{4}{3}r^3\pi g = 6\pi\eta r\frac{l}{t} + \rho_{Öl}\frac{4}{3}r^3\pi g\]
Und damit folgt für die Viskosität:
\begin{eqnarray}
&\rho &= \frac{\big( \rho_{Stahl}\frac{4}{3}r^3\pi g - \rho_{Öl}\frac{4}{3}r^3\pi g \big)}{6\pi rv} = \frac{2r^2gt}{9l}(\rho_{Stahl}-\rho_{Öl})\\
&&= \frac{2\cdot(0,002\mathrm{m})^2\cdot9,81\mathrm{\frac{N}{kg}}\cdot2,0\mathrm{s}}{9\cdot0,4\mathrm{m}}\Big(7860\mathrm{\frac{kg}{m^3}}-850\mathrm{\frac{kg}{m^3}}\Big) = 0,3\mathrm{Pa\cdot s}
\end{eqnarray}