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Aufgabe

Kavitation an der Schiffsschraube

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

me, CC BY-SA 3.0, via Wikimedia Commons
Abb. 1 Durch Kavitation zerstörtes Laufrad einer FRANCIS-Turbine

Ein großes Problem in technischen Anwendungen mit Fluiden stellt die Kavitation dar. Wird ein Fluid so stark beschleunigt, dass der Druck lokal unter den Dampfdruck absinkt, entstehen Dampfblasen in der Strömung. Diese „Hohlräume“ in der Strömung erklären die Bezeichnung „Kavitation“. Werden diese Dampfblasen dann in Gebiete mit höherem Druck transportiert, fallen sie wie durch eine Implosion in sich zusammen. Hierbei entstehen so hohe Drücke, dass das jedes Material in der Umgebung mit der Zeit geschädigt wird. Kein derzeit bekanntes Material kann den enormen Druckspitzen auf Dauer standhalten. Das Material wird regelrecht herausgerissen und man spricht von der Kavitationserosion. Auch an Schiffspropellern stellt die Kavitation ein großes Problem dar.

Eine Schiffsschraube mit dem Durchmesser \(50\,\rm{cm}\) soll kavitationsfrei arbeiten.

Berechne die Drehzahl in der in der Schifffahrt üblichen Maßeinheit \(\frac{1}{\rm{min}}\), die die Schiffsschraube maximal haben darf, damit der Dampfdruck von Wasser (\(2300\,{\rm{Pa}}\) bei \(20^\circ \rm{C}\)) nicht unterschritten wird.

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Zur Lösung gehen wir von der vereinfachten BERNOULLI-Gleichung\[\frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_1^2 + p_1 = \frac{1}{2} \cdot \rho \cdot v_2^2 + p_2\]aus. Hiermit berechnen wir, ab welcher Geschwindigkeit \(v_2\) der Strömungsdruck in Wasser mit \(\rho=1000\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\) von \(p_1=1\,\rm{bar} = 100\,000\,\rm{Pa}\) auf den Dampfdruck \(p_2=2300\,{\rm{Pa}}\) absinkt. Gehen wir von ruhendem Wasser aus, das von der Schiffsschraube in Bewegung gesetzt wird, so beträgt \(v_1 = 0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\). Damit folgt aus der vereinfachten BERNOULLI-Gleichung für die Geschwindigkeit \(v_2\)\[v_2 = \sqrt {\frac{2 \cdot \left( p_1 - p_2 \right)}{\rho } }\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{v_2} = \sqrt {\frac{{2 \cdot \left( {100\,000\,{\rm{Pa}} - 2300\,{\rm{Pa}}} \right)}}{{1000\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}}}}}  = 14\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\]Hat nun die Schiffsschraube den Durchmesser \(d=50\,\rm{cm}=0{,}50\,\rm{m}\) und damit den Radius \(r=0{,}25\,\rm{m}\) und die Spitze der Schiffsschraube die Bahngeschwindigkeit \(v=v_2=14\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\), dann ergibt sich mit dem bekannten Zusammenhang zwischen Bahn- und Winkelgeschwindigkeit\[{v = \omega  \cdot r \Leftrightarrow \omega  = \frac{v}{r}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{\omega  = \frac{{14\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}}{{{\rm{0}}{\rm{,25m}}}} = 56\,\frac{1}{{\rm{s}}}}\]Für die Frequenz ergibt sich dann\[{\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f \Leftrightarrow f = \frac{\omega }{{2 \cdot \pi }}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{f = \frac{{56\,\frac{1}{{\rm{s}}}}}{2 \cdot \pi} = 8{,}9\,\frac{{\rm{1}}}{{\rm{s}}} = 8{,}9 \cdot 60\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}} = 530\,\frac{{\rm{1}}}{{{\rm{min}}}}}\]wobei das Ergebnis nur auf zwei Ziffern genau ist.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Strömungslehre