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Aufgabe

Geschwindigkeit am Gartenschlauch

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Wasserhahn liefert einen Volumenstrom \(\dot{V} = 6{,}0\,{\frac{\ell}{\rm{min}}}\). Der angeschlossenen Gartenschlauch hat einen Innendurchmesser \(d_1 = 18\,\rm{mm}\), die Düse einen Querschnitt von \(d_2 = 5{,}0\,\rm{mm}\).

a)

Berechne den Massenstrom im Gartenschlauch.

b)

Berechne die Geschwindigkeit des Wassers im Gartenschlauch.

c)

Berechne die Geschwindigkeit des Wasser an der Düse.

d)

Man beobachtet, dass der Wasserstrahl sich nach der Düse aufweitet.

Erkläre dies.

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a)

Wasser hat bei Normalbedingungen die Dichte \(\rho=1000\, \frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\). Für den Volumenstrom gilt \(\dot{V} = 6{,}0\,{\frac{\ell}{\rm{min}}}=6{,}0 \cdot\frac{1{,}0 \cdot 10^{-3}\,{\rm{m}^3} }{60\,\rm{s}}=1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{s}}\). Der Massenstrom ergibt sich dann durch\[\dot{m}= \rho \cdot \dot{V} \Rightarrow \dot{m}=1000\, \frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3} \cdot 1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{s}} = 0{,}10\,\frac{\rm{kg}}{\rm{s}}\]

b)

Der Querschnitt des Schlauches ergibt sich mit \(r=\frac{1}{2} \cdot d =0{,}0090\,\rm{m}\) zu\[A_1 = \pi \cdot r^2 \Rightarrow A_1= \pi \cdot \left( 0{,}0090\,\rm{m} \right)^2=2{,}5\cdot{10}^{-4}\,\rm {m}^2\]Damit folgt für die Geschwindigkeit im Schlauch\[v_1=\frac{\dot{V}}{A_1} \Rightarrow v_1=\frac{1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{s}}}{2{,}5\cdot{10}^{-4}\,\rm{m}^2}=0{,}40 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

 

c)

Der Querschnitt der Düse ergibt sich mit \(r=\frac{1}{2} \cdot d =0{,}0025\,\rm{m}\) zu\[A_1 = \pi \cdot r^2 \Rightarrow A_1= \pi \cdot \left( 0{,}0025\,\rm{m} \right)^2=2{,}0\cdot{10}^{-5}\,\rm {m}^2\]Damit folgt für die Geschwindigkeit an der Düse\[v_2=\frac{\dot{V}}{A_2} \Rightarrow v_2=\frac{1{,}0 \cdot 10^{-4}\,\frac{\rm{m}^3}{\rm{s}}}{2{,}0\cdot{10}^{-5}\,\rm{m}^2}=5{,}0 \, \frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

d)

Durch Reibungseffekte wird die Strahlgeschwindigkeit abgebremst. Die Volumen- oder Massenerhaltung besagt aber, dass Geschwindigkeit mal Querschnittsfläche konstant bleiben muss. Deswegen weitet sich der Strahl auf.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Strömungslehre