Strömungslehre

Wegen der Volumenerhaltung gilt\[{{{\dot V}_{\rm{1}}} = {A_{\rm{1}}} \cdot {v_{\rm{1}}} = {A_{\rm{2}}} \cdot {v_{\rm{2}}} = {{\dot V}_{\rm{2}}} = \dot V}\]Wir stellen die BERNOULLI-Gleichung auf und setzen die Volumenerhaltung ein:\[\begin{eqnarray}\frac{1}{2} \cdot \rho  \cdot v_1^2 + {p_1} &=& \frac{1}{2} \cdot \rho  \cdot v_2^2 + {p_2}\\\frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} \cdot \rho  \cdot {\left( {\frac{{\dot V}}{{{A_{\rm{1}}}}}} \right)^{\rm{2}}} + {p_{\rm{1}}} &=& \frac{{\rm{1}}}{{\rm{2}}} \cdot \rho  \cdot {\left( {\frac{{\dot V}}{{{A_{\rm{2}}}}}} \right)^{\rm{2}}} + {p_2}\\{{\dot V}^{\rm{2}}} \cdot \left( {\frac{{\rm{1}}}{{A_{\rm{2}}^{\rm{2}}}} - \frac{{\rm{1}}}{{A_{\rm{1}}^{\rm{2}}}}} \right) &=& \frac{{{\rm{2}} \cdot \left( {{p_{\rm{1}}} - {p_2}} \right)}}{\rho }\\{{\dot V}^{\rm{2}}} \cdot \left( {\frac{{A_{\rm{1}}^{\rm{2}} - A_{\rm{2}}^{\rm{2}}}}{{A_{\rm{2}}^{\rm{2}} \cdot A_{\rm{1}}^{\rm{2}}}}} \right) &=& \frac{{{\rm{2}} \cdot \left( {{p_{\rm{1}}} - {p_2}} \right)}}{\rho }\\\dot V &=& {A_{\rm{1}}} \cdot {A_{\rm{2}}} \cdot \sqrt {\frac{{{\rm{2}} \cdot \left( {{p_{\rm{1}}} - {p_v}} \right)}}{{\rho  \cdot \left( {A_{\rm{1}}^{\rm{2}} - A_{\rm{2}}^{\rm{2}}} \right)}}} \end{eqnarray}\]Mit \(A = \pi  \cdot {r^2} = \pi  \cdot {\left( {\frac{d}{2}} \right)^2}\) und damit \({A_1} = \pi  \cdot {\left( {\frac{{18 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{2}} \right)^2} = 2{,}5 \cdot {10^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2}\) bzw.  \({A_2} = \pi  \cdot {\left( {\frac{{9{,}0 \cdot {{10}^{ - 3}}\,{\rm{m}}}}{2}} \right)^2} = 0{,}64 \cdot {10^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2}\) ergibt sich\[\dot V=2{,}5 \cdot 10^{- 4}\,\rm{m}^2 \cdot 0{,}64 \cdot 10^{-4}\,\rm{m}^2 \cdot \sqrt {\frac{2 \cdot \left( 7{,}0 \cdot 10^5\,\rm{Pa}-2300\,\rm{Pa} \right)}{{1000\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{{{\rm{m}}^3}}} \cdot \left( {{{\left( {2{,}5 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2}} \right)}^2} - {{\left( {0{,}64 \cdot {{10}^{ - 4}}\,{{\rm{m}}^2}} \right)}^2}} \right)}}}  = 2{,}5 \cdot {10^{ - 3}}\,\frac{{{{\rm{m}}^3}}}{{\rm{s}}} = 150\,\frac{\ell }{{{\rm{min}}}}\]Dabei ist das Ergebnis nur auf zwei Ziffern genau.