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Aufgabe

Standfestigkeit

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Joachim Herz Stiftung
Abb. 1 Skizze zur Aufgabe

Ein Mann hat ein Seil um seine Füße gebunden, über drei Rollen kann er daran von oben ziehen. Der Mann wiegt \(80\,\rm{kg}\), die Haftzahl (Haftreibungskoeffizient) zwischen Schuhen und Boden ist \(0{,}60\).

Berechne den Betrag der Kraft, mit der der Mann mindestens ziehen muss, damit ihm die Füße weggezogen werden.

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Dem Mann werden die Füße weggezogen, wenn der Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der Zugkraft, mit der das Seil an seinen Füßen zieht, größer als der Betrag \({F_{{\rm{HR}}{\rm{,max}}}}\) der maximalen Haftreibungskraft zwischen Schuhen und Boden ist:\[{F_{\rm{Z}}} > {F_{{\rm{HR,max}}}}\]Der Betrag der maximalen Haftreibungskraft ist nun das Produkt aus Haftreibungskoeffizient \({\mu _{{\rm{HR}}}}\) und dem Betrag \({F_{\rm{N}}}\) der nach unten gerichtetetn Normalkraft, die der Mann auf den Boden ausübt. Wir erhalten\[{F_{\rm{Z}}} > {F_{{\rm{HR,max}}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{\rm{N}}}\]Dieser Betrag der Normalkraft ist schließlich die Differenz aus dem Betrag \({F_{\rm{G}}}=m \cdot g\) der nach unten gerichteten Gewichtskraft und dem Betrag \({F_{\rm{Z}}}\) der nach oben gerichteten Gegenkraft zur Zugkraft. Wir erhalten\[{F_{\rm{Z}}} > {F_{{\rm{HR,max}}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{\rm{N}}} = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot \left( {{F_{\rm{G}}} - {F_{\rm{Z}}}} \right) = {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot \left( {m \cdot g - {F_{\rm{Z}}}} \right)\]und damit\[\begin{eqnarray}{F_{\rm{Z}}} &>& {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot \left( {m \cdot g - {F_{\rm{Z}}}} \right)\\{F_{\rm{Z}}} &>& {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot m \cdot g - {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{\rm{Z}}}\\{F_{\rm{Z}}} + {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot {F_{\rm{Z}}} &>& {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot m \cdot g\\{F_{\rm{Z}}} \cdot \left( {1 + {\mu _{{\rm{HR}}}}} \right) &>& {\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot m \cdot g\\{F_{\rm{Z}}} &>& \frac{{{\mu _{{\rm{HR}}}} \cdot m \cdot g}}{{1 + {\mu _{{\rm{HR}}}}}}\end{eqnarray}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{F_{\rm{Z}}} > \frac{{0{,}60 \cdot 80\,{\rm{kg}} \cdot 9{,}8\,\frac{{\rm{N}}}{{{\rm{kg}}}}}}{{1 + 0{,}60}} = 290\,{\rm{N}}\]Hierbei wurde das Endergebnis auf zwei gültige Ziffern gerundet, da die ungenaueste Angabe nur zwei gülige Ziffern besitzt.

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Reibung und Fortbewegung