Der Haftreibungskoeffizient zwischen Stahl und Eis ist \({\mu _{{\rm{HR}}}} = 0{,}0300\) und der Gleitreibungskoeffizient \({\mu _{{\rm{GR}}}} = 0{,}0150\). Ein Schlitten mit Kind hat die Masse \(35{,}0\,\rm{kg}\), das Gefährt befindet sich auf einer horizontalen Eisfläche.
a)
Berechne den Betrag der Kraft, die man benötigt, um den Schlitten samt Kind in Bewegung zu setzen.
b)
Berechne den Betrag der Kraft, die man benötigt, um das Gefährt mit konstanter Geschwindigkeit ziehen zu können.
c)
Berechne den Betrag der Beschleunigung, die der Schlitten erfährt, wenn die zum Anfahren nötige Kraft von Teilaufgabe a) auch nach dem Anfahren weiter wirkt.
d)
Der Vater gibt nun dem Schlitten mit Kind Schwung, so dass dieser eine Geschwindigkeit von \(11\,\frac{\rm{km}}{\rm{h}}\) hat, dann lässt er den Schlitten los.
Berechne die Länge der Strecke, nach der das Gefährt zum Stehen kommt.
Man muss mindestens die maximale Haftkraft überwinden. Für diese gilt die Formel\[ F_{\rm{HR, max}} = \mu_{\rm{HR}} \cdot m \cdot g\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[F_{\rm{HR, max}} = 0{,}0300 \cdot 35{,}0\,\rm{kg} \cdot 9{,}81\,\frac{\rm{N}}{\rm{kg}} = 10{,}3\,\rm{N}\]
b)
Bei konstanter Geschwindigkeit ist die resultierende Kraft Null. Man muss also mit einer Kraft ziehen, die betraglich gleich der Gleitreibungskraft ist. Für diese gilt die Formel\[ F_{\rm{GR}} = \mu_{\rm{GR}} \cdot m \cdot g\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[F_{\rm{GR}} = 0{,}0150 \cdot 35{,}0\,\rm{kg} \cdot 9{,}81 \cdot \frac{\rm{N}}{\rm{kg}} = 5{,}15\,\rm{N}\]
c)
Zur Berechnung der Beschleunigung muss man von der resultierenden Kraft \({{\vec F}_{{\rm{res}}}}\) ausgehen. Deren Betrag ergibt sich zu\[{F_{{\rm{res}}}} = {F_{{\rm{HR}}{\rm{,max}}}} - {F_{{\rm{GR}}}} = 10{,}3\,{\rm{N}} - 5{,}15\,{\rm{N}} = 5{,}2\,{\rm{N}}\]Die Beschleunigung berechnen wir mit dem 3. NEWTONschen Gesetz\[F_{\rm{res}} = m \cdot a \Leftrightarrow a = \frac{F_{\rm{res}}}{m}\]Einsetzen der gegebenen und berechneten Werte liefert
\[a = \frac{5{,}2\,{\rm{N}}}{35{,}0\,\rm{kg}} = 0{,}15\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\]
d)
Es handelt sich um eine konstant verzögerte Bewegung mit der Anfangsgeschwindigkeit \({v_0} = 11\, \frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}} = \frac{{11}}{{3{,}6}}\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} = 3{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\). Da nur die Gleitreibungskraft wirken soll, berechnet sich die Verzögerung durch\[a = - \frac{{{F_{{\rm{GR}}}}}}{m}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[a = - \frac{5{,}15\,\rm{N}}{35{,}0\,\rm{kg}} = -0{,}147\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}^2}\]Aus der Formel\[{{v^2} - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s}\]erhält man mit der Endgeschwindigkeit \(v=0\)\[{ - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot s \Leftrightarrow s = - \frac{{v_0^2}}{{2 \cdot a}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{s = - \frac{{{{\left( {3{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot \left( { - 0{,}147\,\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}}} \right)}} = 33\,{\rm{m}}}\]
