Reibung und Fortbewegung

Joachim Herz Stiftung

gegeben: \( v_0 = 58 \rm{\frac{km}{h}} = 16 \rm{\frac{m}{s}}\) ; \(x = 150\rm{m}\) ; gesucht: \(\mu_r \)

Die resultierende Kraft ist allein die Gleitreibungskraft:\[{{F_{res}} = {F_r} =-{\mu _r} \cdot m \cdot g}\]Berechnung der Beschleunigung:\[m \cdot a = {F_{res}} =-{\mu _r} \cdot m \cdot g \Leftrightarrow  a =-{\mu _r} \cdot g \quad(1)\]Aus dem kinematische Zusammenhang \({{v^2} - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot x}\) folgt wegen \({v = 0}\)\[{ - v_0^2 = 2 \cdot a \cdot x}\]und mit \((1)\) ergibt sich\[{ - v_0^2 =-2 \cdot {\mu _r} \cdot g \cdot x \Leftrightarrow {\mu _r} = \frac{{v_0^2}}{{2 \cdot g \cdot x}}}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert\[{{\mu _r} = \frac{{{{\left( {\frac{{58}}{{3,6}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right)}^2}}}{{2 \cdot 9,81\frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^{\rm{2}}}}} \cdot 150{\rm{m}}}} = 0,088}\]

Bei den großen Weiten würde schon eine kleine Abweichung von der Mittellinie dazu führen, dass der Eisstock an die Randbegrenzung stößt.

Für den halben Öffnungswinkel \( \frac{\alpha}{2} \) gilt\[\tan \left( {\frac{\alpha }{2}} \right) = \frac{{6{\rm{m}} - {\rm{4m}}}}{{100{\rm{m}}}} = \frac{1}{{50}}\] und damit\[\alpha  = {2,3^\circ }\]

Aus der in Teilaufgabe a) hergeleiteten Beziehung kann man bei konstanter Anfangsgeschwindigkeit schließen\[{\mu _r} = \frac{{v_0^2}}{{2 \cdot g \cdot x}} \Rightarrow {\kern 1pt} {\mu _r} \sim \frac{1}{x} \Rightarrow {\kern 1pt} {\mu _r} \cdot x = const.\]Aus dieser Produktgleichheit bei indirekter Proportionalität ergibt sich dann\[{\mu _{r2}} \cdot {x_2} = {\mu _{r1}} \cdot {x_1} \Leftrightarrow {\kern 1pt} {\mu _{r2}} = {\mu _{r1}} \cdot \frac{{{x_1}}}{{{x_2}}} \Rightarrow {\mu _{r2}} = 0,088 \cdot \frac{{150{\rm{m}}}}{{566{\rm{m}}}} = 0,023\]

Joachim Herz Stiftung

gegeben:\(v_0^ *  = 40\frac{{{\rm{km}}}}{{\rm{h}}}{\rm{ = 11}}\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) ; \(x = 150\rm{m}\) ; \(\mu_r = 0,088\)

gesucht: \(\mu_r \)

Die resultierende Kraft ist die Differenz aus Gleitreibungskraft und Hangabtriebskraft:\[{{F_{res}} =- |{F_r}| + |{F_h}| =-m \cdot g \cdot {\mu _r} \cdot \cos \left( \alpha  \right) - m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha  \right)}\]Berechnung der Beschleunigung:\[{m \cdot {a^ * } = {F_{res}} =-m \cdot g \cdot {\mu _r} \cdot \cos \left( \alpha  \right) - m \cdot g \cdot \sin \left( \alpha  \right)\; \Leftrightarrow {a^ * } =-g \cdot \left( {{\mu _r} \cdot \cos \left( \alpha  \right) - \sin \left( \alpha  \right)} \right)}\]Zur Berechnung der Winkelweite \(\alpha \) werden zur einfacheren Darstellung Zahlenwerte eingesetzt. Außerdem wird der \( \cos \left( \alpha  \right) \) durch \( \sin \left( \alpha  \right) \) ersetzt:\[\begin{eqnarray}0,042 &=& 0,088 \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\sin \left( \alpha  \right)} \right)}^2}}  - \sin \left( \alpha  \right)\\\sin \left( \alpha  \right) + 0,042 &=& 0,088 \cdot \sqrt {1 - {{\left( {\sin \left( \alpha  \right)} \right)}^2}} \quad {|^2}\\{\left( {\sin \left( \alpha  \right)} \right)^2} + 0,084 \cdot \sin \left( \alpha  \right) + {(0,042)^2} &=& {(0,088)^2} \cdot \left( {1 - {{\left( {\sin \left( \alpha  \right)} \right)}^2}} \right)\\1,00774 \cdot {\left( {\sin \left( \alpha  \right)} \right)^2} + 0,084 \cdot \sin \left( \alpha  \right) - 0,0060 &=& 0\\\sin \left( \alpha  \right) &=& \frac{{ - 0,084 + \sqrt {{{\left( {0,084} \right)}^2} + 4 \cdot 1,00774 \cdot 0,0060} }}{{2 \cdot 1,00774}} = 0,046 \Rightarrow \alpha  = 2,6^\circ \end{eqnarray}\]