Mechanik

Mechanische Wellen

Wellenfunktion

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Wellenfunktion

Erzeugt man eine Welle z.B. durch eine sinusförmige Anregung an einem Seilende. So lässt sich das Bild der Welle zu einem gewissen Zeitpunkt (Momentaufnahme) durch eine Sinuslinie beschreiben (das x-y-Diagramm ist eine Sinuslinie). Solche Wellen bezeichnet man auch als harmonische Wellen.

 

Die Momentaufnahme einer harmonischen Welle ist nicht zu verwechseln mit der Darstellung des zeitlichen Verlaufs der Schwingung eines Teilchens in der linearen Kette. Das t-y-Diagramm eines von der Welle erfassten Teilchens ist ebenfalls eine Sinuslinie. Die einzelnen Sinusschwingungen der von der Welle erfassten Teilchen besitzen eine Phasenverschiebung Δφ = ω·Δt. Die Phasenverschiebung hängt davon ab wie weit das betrachtete Teilchen vom ersten Teilchen der Kette entfernt ist.

Aufgabe: Querwellen

a)

Welche(s) Teilchen von Bild 1 könnte das in Bild 2 dargestellte \(t\)-\(y\)-Diagramm besitzen? Hinweis: Bild 1 wurde zur Zeit \(t = 0\) aufgenommen.

b)

In Bild 3 ist ein weiteres \(t\)-\(y\)-Diagramm eines Teilchens dargestellt. Welche(s) Teilchen von Bild 1 könnte dieses \(t\)-\(y\)-Diagramm zeigen?

c)

Welche Phasenverschiebung \(\Delta \varphi \) (Betrag) besteht zwischen Bild 2 und Bild 3?

 

Auf dieser Seite wirst du zur sogenannten Wellenfunktion geführt. Diese Funktion beschreibt die Auslenkung eines von der Welle erfassten Teilchens in y-Richtung an einem beliebigen Ort x und zu einer beliebigen Zeit t.

In den nebenstehenden Bildern ist jeweils eine Reihe von Körpern skizziert, die von einer sinusförmigen Querwelle erfasst werden.

Im obersten Bild beginnt der Körper A gerade in positive y-Richtung zu schwingen, die anderen Körper sind noch in Ruhe.

Im Bild darunter hat Körper A schon eine gewisse Auslenkung, der zweite Körper wird gerade von der Störung erfasst und beginnt gerade in positive y-Richtung zu schwingen usw.

Bestimme die Schwingungsfunktion für den Körper A, wenn er mit der Frequenz \(f\) schwingt.

Aufgrund der Kopplung der Teilchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven x-Richtung.

Berechne die Zeitspanne \({\Delta t}\), die verstreicht, bis der Punkt P in der Entfernung \({{x_{\rm{P}}}}\) erfasst wird.

Bestimme mit den bisherigen Ergebnissen die Schwingungsfunktion für den Körper P.

Die Schwingungsgleichung für den Körper A lautet
\[{y_A}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t} \right)\;;\;\omega  = 2 \cdot \pi  \cdot f\]
Aufgrund der Kopplung der Körperchen wandert die Störung mit der Geschwindigkeit \(c\) entlang der positiven x-Richtung.
Der Körper P wird in der Zeit \(\Delta t = \frac{{{x_P}}}{c} \quad(1)\) von der Störung erfasst. Der Körper P schwingt also um die Zeit \(\Delta t\) verspätet an. Somit gilt:
\[{y_P}(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot \left( {t - \Delta t} \right)} \right)\quad(2)\]
Setzt man (1) in (2) ein, so folgt
\[{y_P}(t) = \hat y \cdot \sin \;\left[ {\omega  \cdot \left( {t - \frac{{{x_P}}}{c}} \right)} \right]\]
Wählt man an Stelle von P einen beliebigen Punkt mit der Entfernung \(x\) vom Ursprung aus, so gilt
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \;\left[ {\frac{{2\pi }}{T} \cdot \left( {t - \frac{x}{c}} \right)} \right]\]
Die Auslenkung \(y\) hängt dann von den beiden Variablen \(x\) und \(t\) ab. Man bezeichnet obige Gleichung als die Wellengleichung.
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{{c \cdot T}}} \right)} \right]\]
Unter Verwendung der Beziehung
\[c = \lambda  \cdot f = \lambda  \cdot \frac{1}{T} \Rightarrow c \cdot T = \lambda \]
lässt sich die Wellengleichung in der noch etwas "griffigeren" Form schreiben:
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]
Für eine in die negative x-Richtung laufende Welle gilt:
\[y(x;t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]
Die Wellengleichung als Funktion zweier Variablen ist zunächst wohl etwas ungewohnt. Sie enthält aber in sehr kompakter Form alle Informationen über die Welle.

Wir fassen noch einmal zusammen: Die fortlaufende Welle - Bild und Gleichung

Bei einer längs einer Geraden fortlaufenden Welle schwingen alle Punkte der Geraden mit der selben Amplitude allerdings mit unterschiedlicher, zeitlich versetzter Phasenlage. Dabei ist \(T\) die Schwingungsperiode und \(\lambda\) die Wellenlänge.

3 Nach rechts laufende harmonische Welle

Die Welllenfunktion einer in positiver \(x\)-Richtung (also meist nach rechts) laufenden Welle lautet\[{y_{\rm{R}}}(x;t) =\hat y \cdot \sin \left( {2\pi \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]Beachte, dass hier in der Klammer des Sinus ein \(-\)-Zeichen steht.

4 Nach links laufende harmonische Welle

Die Welllenfunktion einer in negativer \(x\)-Richtung (also meist nach links) laufenden Welle lautet\[{y_{\rm{L}}}(x;t) = \hat y \cdot \sin \left( {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} + \frac{x}{\lambda }} \right)} \right)\]Beachte, dass hier in der Klammer des Sinus ein \(+\)-Zeichen steht.

Was sagt die Wellengleichung über einen Punkt an einem festen Ort \(x_1\) aus? ("vertikale" Betrachtung)
\[y({x_1};t) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{t}{T} - \frac{{{x_1}}}{\lambda }} \right)} \right]\]
Die Auslenkung hängt nur noch von \(t\) ab. \(y({x_1};t)\) zeigt, dass der Punkt am Ort \(x_1\) eine Sinusschwingung ausführt (Sinuslinie im \(t\)-\(y\)-Diagramm). Vgl. hierzu die Bewegung der rot markierten Punkte in den Animationen in den Abb. 3 und 4.

Was sagt die Wellengleichung für einen festen Zeitpunkt \(t_1\) aus? ("horizontale" Betrachtung)
\[y(x;{t_1}) = \hat y \cdot \sin \left[ {2\pi  \cdot \left( {\frac{{{t_1}}}{T} - \frac{x}{\lambda }} \right)} \right]\]
Die Auslenkung hängt nur noch von \(x\) ab. \(y(x;{t_1})\) zeigt, dass eine Momentaufnahme der Welle eine Sinuslinie ergibt (Sinuslinie im \(x\)-\(y\)-Diagramm). Vgl. hierzu die Standbilder in den Animationen in den Abb. 3 und 4.

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