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Aufgabe

Wasserski

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Ein Wasserskifahrer fährt mit einer stets konstanten Geschwindigkeit von \({12{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\). Wenn er in die gleiche Richtung fährt wie die fortlaufende Wasserwelle, springt er alle \({0{,}60\,{\rm{s}}}\) über einen Wellenkamm. Fährt er gegen die Welle springt er alle \({0{,}50\,{\rm{s}}}\) über einen Wellenkamm.

Hinweis: Die Geschwindigkeit des Fahrers sei größer als die Wellengeschwindigkeit.

a)Bestimme die Wellengeschwindigkeit.

b)Berechne die Wellenlänge der Wasserwelle.

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a)gegeben: \(v = 12{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\); \({t_{\rm{m}}} = 0{,}60\,{\rm{s}}\) (Zeit zwischen zwei Wellenkämmen, wenn er mit der Welle fährt); \({t_{\rm{g}}} = 0{,}50\,{\rm{s}}\) (Zeit zwischen zwei Wellenkämmen, wenn er gegen die Welle fährt)

gesucht: \(c\) (Ausbreitungsgeschwindigkeit)

Rechnung:
\[v \cdot {t_{\rm{m}}} = \lambda  + c \cdot {t_{\rm{m}}} \quad(1)\]
\[v \cdot {t_{\rm{g}}} = \lambda  - c \cdot {t_{\rm{g}}} \quad(2)\]
Berechnung von \(c\) durch Subtraktion der beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\):
\[v \cdot {t_{\rm{m}}} - v \cdot {t_{\rm{g}}} = \lambda  + c \cdot {t_{\rm{m}}} - \left( {\lambda  - c \cdot {t_{\rm{g}}}} \right) \Leftrightarrow v \cdot \left( {{t_{\rm{m}}} - {t_{\rm{g}}}} \right) = c \cdot \left( {{t_{\rm{m}}} + {t_{\rm{g}}}} \right) \Leftrightarrow c = \frac{{v \cdot \left( {{t_{\rm{m}}} - {t_{\rm{g}}}} \right)}}{{{t_{\rm{m}}} + {t_{\rm{g}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[c = \frac{{12{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \left( {0{,}60\,{\rm{s}} - 0,{5}0\,{\rm{s}}} \right)}}{{0{,}60\,{\rm{s}} + 0{,}50\,{\rm{s}}}} = 1{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]

b)gesucht: Wellenlänge \(\lambda \)

Rechnung:
\[\lambda  = v \cdot {t_{\rm{m}}} - c \cdot {t_{\rm{m}}} = {t_{\rm{m}}} \cdot \left( {v - c} \right) \Rightarrow \lambda  = 0{,}60\,{\rm{s}} \cdot \left( {12{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} - 1{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}} \right) = 6{,}5\,{\rm{m}}\]