Ein Wasserskifahrer fährt mit einer stets konstanten Geschwindigkeit von \({12{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}}\). Wenn er in die gleiche Richtung fährt wie die fortlaufende Wasserwelle, springt er alle \({0{,}60\,{\rm{s}}}\) über einen Wellenkamm. Fährt er gegen die Welle springt er alle \({0{,}50\,{\rm{s}}}\) über einen Wellenkamm.
Hinweis: Die Geschwindigkeit des Fahrers sei größer als die Wellengeschwindigkeit.
gegeben: \(v = 12{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\); \({t_{\rm{m}}} = 0{,}60\,{\rm{s}}\) (Zeit zwischen zwei Wellenkämmen, wenn er mit der Welle fährt); \({t_{\rm{g}}} = 0{,}50\,{\rm{s}}\) (Zeit zwischen zwei Wellenkämmen, wenn er gegen die Welle fährt)
gesucht: \(c\) (Ausbreitungsgeschwindigkeit)
Rechnung:
\[v \cdot {t_{\rm{m}}} = \lambda + c \cdot {t_{\rm{m}}} \quad(1)\]
\[v \cdot {t_{\rm{g}}} = \lambda - c \cdot {t_{\rm{g}}} \quad(2)\]
Berechnung von \(c\) durch Subtraktion der beiden Gleichungen \((1)\) und \((2)\):
\[v \cdot {t_{\rm{m}}} - v \cdot {t_{\rm{g}}} = \lambda + c \cdot {t_{\rm{m}}} - \left( {\lambda - c \cdot {t_{\rm{g}}}} \right) \Leftrightarrow v \cdot \left( {{t_{\rm{m}}} - {t_{\rm{g}}}} \right) = c \cdot \left( {{t_{\rm{m}}} + {t_{\rm{g}}}} \right) \Leftrightarrow c = \frac{{v \cdot \left( {{t_{\rm{m}}} - {t_{\rm{g}}}} \right)}}{{{t_{\rm{m}}} + {t_{\rm{g}}}}}\]
Einsetzen der gegebenen Werte liefert
\[c = \frac{{12{,}0\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}} \cdot \left( {0{,}60\,{\rm{s}} - 0,{5}0\,{\rm{s}}} \right)}}{{0{,}60\,{\rm{s}} + 0{,}50\,{\rm{s}}}} = 1{,}1\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\]