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Aufgabe

Spannung einer Stahlsaite

Schwierigkeitsgrad: schwere Aufgabe

Eine an beiden Enden eingespannte Stahlsaite (Dichte von Stahl: \(\rho = 7{,}86 \cdot 10^3\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\)) hat eine Länge von \(40{,}0\,\rm{cm}\) und einen Durchmesser von \(1{,}00\,\rm{mm}\). Die Frequenz der Grundschwingung beträgt \(440\,\rm{Hz}\).

a)

Berechne den Wert der Ausbreitungsgeschwindigkeit der zugrundeliegenden fortlaufenden Wellen.

Für die Grundfrequenz \(f\) einer eingespannten Saite gilt die Formel\[f = \frac{1}{{2 \cdot l}} \cdot \sqrt {\frac{T}{\mu}} \]Dabei ist \(L\) die Länge der Saite, \(\mu\) die Masse pro \(1\,\rm{m}\) Länge (\(\left[ \mu  \right] = 1\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{\rm{m}}}\)) und \(T\) die sogenannte Saitenspannung.

b)

Gib an, wie sich die Grundfrequenz der Saite ändert, wenn man

  • ihre Saitenspannung
  • ihre Masse pro Meter Länge
  • ihre Länge

vervierfacht.

c)

Zeige, dass die Maßeinheit der Saitenspannung \(1\,\rm{N}\) ist, es sich bei der Saitenspannung also um eine Kraft handelt.

d)

Berechne die Saitenspannung der hier betrachteten Saite.

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a)

Für die Grundschwingung gilt\[\lambda = 2 \cdot L \Rightarrow \lambda = 2 \cdot 0{,}40\,\rm{m}  = 0{,}80\,\rm{m}\]Mit \(f=440\,\rm{Hz}\) erhalten wir mit der Formel zur Berechnung der Wellenlänge\[\lambda = \frac{c}{f} \Leftrightarrow c = \lambda \cdot f\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[c = 0{,}80\,\rm{m} \cdot 440\,\rm{Hz} = 350\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

b)
  • Wenn man die Saitenspannung vervierfacht, verdoppelt sich die Frequenz.
  • Wenn man die Masse pro Meter Länge vervierfacht, halbiert sich die Frequenz.
  • Wenn man die Länge der Saite vervierfacht, viertelt sich die Frequenz.

 

c)

Wir stellen die gegebene Formel nach \(T\) um und erhalten\[\begin{eqnarray}f &=& \frac{1}{{2 \cdot L}} \cdot \sqrt {\frac{T}{\mu }} \\{f^2} &=& \frac{1}{{4 \cdot {L^2}}} \cdot \frac{T}{\mu }\\{f^2} \cdot 4 \cdot {L^2} \cdot \mu  &=& T\end{eqnarray}\]Damit ergibt sich\[\left[ T \right] = {\left( {\frac{1}{{\rm{s}}}} \right)^2} \cdot 4 \cdot {\left( {1\,{\rm{m}}} \right)^2} \cdot 1\,\frac{{{\rm{kg}}}}{{\rm{m}}} = 1\,{\rm{kg}} \cdot \frac{{\rm{m}}}{{{{\rm{s}}^2}}} = 1\,{\rm{N}}\]

c)

Aus Teilaufgabe c) wissen wir\[T={f^2} \cdot 4 \cdot {L^2} \cdot \mu\]Nun benötigen wir noch \(\mu\) mit\[\mu=\frac{m}{L} \quad (1)\]Für die Masse \(m\) gilt weiter\[m=\rho \cdot V \quad (2)\]Betrachten wir die Saite als einen langen, liegenden Zylinder, so ergibt sich ihr Volumen zu\[V=\pi \cdot r^2 \cdot L \quad(3)\]Setzen wir die Gleichungen \((2)\) und \((3)\) in Gleichung \((1)\) ein, so erhalten wir\[\mu  = \frac{m}{L}\underbrace  = _{(2)}\frac{{\rho \cdot V}}{L}\underbrace = _{(3)}\frac{{\rho  \cdot \pi \cdot {r^2} \cdot L}}{L} = \pi \cdot \rho \cdot {r^2}\]Mit \(\rho = 7{,}86 \cdot 10^3\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3}\) und \(r=\frac{d}{2}=\frac{1{,}00\,\rm{mm}}{2}=0{,}50\,\rm{mm}=0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\rm{m}\) erhalten wir nach dem Einsetzen der gegebenen Werte (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\mu=\pi \cdot 7{,}86 \cdot 10^3\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}^3} \cdot {{0{,}50 \cdot 10^{-3}\,\rm{m}}^2}=6{,}2 \cdot 10^{-3}\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}}\]Damit erhält man für \(T\) mit \(f=440\,\rm{Hz}\) und \(L=40{,}0\,\rm{cm}=0{,}40\,\rm{m}\) nach dem Einsetzen der gegebenen Werte (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[T=\left(440\,\rm{Hz}\right)^2 \cdot 4 \cdot \left(0{,}40\,\rm{m}\right)^2 \cdot 6{,}2 \cdot 10^{-3}\,\frac{\rm{kg}}{\rm{m}}=770\,\rm{N}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe