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Aufgabe

Schallgeschwindigkeit in Kupfer

Schwierigkeitsgrad: mittelschwere Aufgabe

Ein Kupferstab von \(56\,\rm{cm}\) Länge wird in seiner Mitte fest eingeklemmt. Durch Reiben in seiner Längsrichtung wird er zum Schwingen angeregt, so dass in dem Kupferstab eine stehende Longitudinalwelle entsteht.

Der Kupferstab wird mit einem KUNDTschen Rohr (Glasrohr mit einem offenen und einem geschlossenen Ende) gekoppelt und ruft dort stehende Schallwellen hervor. Sie bewirken eine Anhäufung des in dem Rohr befindlichen Korkpulvers in Abständen von je \(5{,}0\,\rm{cm}\).

Ermittle aus diesen Angaben die Schallgeschwindigkeit in Kupfer.

Hinweis: Rechne mit einer Schallgeschwindigkeit in Luft von \(340\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\).

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Bei einer stehenden Welle gilt für den Abstand \(\Delta L\) zwischen zwei Knoten\[\Delta L = \frac{\lambda}{2} \Leftrightarrow \lambda = 2 \cdot \Delta L\]In dem mit Luft gefüllten  KUNDTsche Rohr und mit \(\Delta L = 5{,}0\,\rm{cm}\) ergibt das Einsetzen der gegebenen Werte (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda = 2 \cdot 5{,}0\,\rm{cm} = 10\,\rm{cm}\]Weiter erhalten wir mit der Formel zur Berechnung der Wellenlänge\[\lambda = \frac{c}{f} \Leftrightarrow f= \frac{c}{\lambda}\]Mit \(c=c_{\rm{Luft}}=340\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(\lambda = 10\,\rm{cm} = 10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) erhalten wir beim Einsetzen der gegebenen Werte (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[ f= \frac{340\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{10 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}}=3400\,\rm{Hz}\]Dies ist auch die Frequenz der stehenden Welle auf dem Kupferstab. Gehen wir davon aus, dass es sich dabei um eine stehende Welle mit zwei losen Enden in der Grundschwingung mit \(n=1\) handelt, dann gilt für deren Frequenz\[f = n \cdot \frac{c}{{2 \cdot L}} \Leftrightarrow c = \frac{f \cdot 2 \cdot L}{n}\]Mit \(L=56\,\rm{cm}=56 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}\) liefert das Einsetzen der gegebenen Werte (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[c_{\rm{Kupfer}}=\frac{3400\,\rm{Hz} \cdot 2 \cdot 56 \cdot 10^{-2}\,\rm{m}}{1}=3800\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\]

Grundwissen zu dieser Aufgabe

Mechanik

Mechanische Wellen