Mechanische Wellen

Der Vergleich des gegebenen Terms \(y(t) = 1{,}0 \cdot 10^{ - 2}\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( \frac{0{,}5\,\pi }{{\rm{s}}}  \cdot t \right)\) mit dem bekannten Term \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left(\omega  \cdot t \right)\) zeigt sofort\[\omega = \frac{0{,}5\,\pi }{\rm{s}}\]Daraus ergibt sich\[\omega = \frac{2\,\pi}{T} \Leftrightarrow T=\frac{2\,\pi}{\omega} \Rightarrow T=\frac{2\,\pi}{\frac{0{,}5\,\pi }{\rm{s}}}=4{,}0\,\rm{s}\]und damit\[f=\frac{1}{T} \Rightarrow f=\frac{1}{4{,}0\,\rm{s}}=0{,}25\,\rm{Hz}\]Hinweis: Wenn man den Term, der die harmonische Schwingung beschreibt, geschickt umformt, so erhält man\[y(t) = 1{,}0 \cdot 10^{ - 2}\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( \frac{0{,}5\,\pi }{{\rm{s}}}  \cdot t \right)=1{,}0 \cdot 10^{ - 2}\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( 2\,\pi  \cdot \frac{t}{4{,}0\,{{\rm{s}}}} \right)\]Daraus kann man \(T=4{,}0\,{\rm{s}}\) ablesen.

Mit \(c=7{,}5 \cdot 10^{-2}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(f=0{,}25\,\rm{Hz}\) nutzen wir die Formel für die Wellenlänge einer harmonischen Welle\[\lambda = \frac{c}{f}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda = \frac{7{,}5 \cdot 10^{-2}\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{0{,}25\,\rm{Hz}}=0{,}30\,\rm{m}\]

Mit \(\hat y = 1{,}0 \cdot 10^{ - 2}\,{\rm{m}}\), \(T=4{,}0\,\rm{s}\) und \(\lambda = 0{,}30\,\rm{m}\) ergibt sich\[y(x;t) = 1{,}0 \cdot 10^{ - 2}\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( 2\,\pi  \cdot \left( \frac{t}{4{,}0\,\rm{s}}-\frac{x}{0{,}30\,\rm{m}} \right) \right)\]

Mit \(x=7{,}5\,\rm{cm}=0{,}075\,\rm{m}\) ergibt sich\[\begin{eqnarray}y(7{,}5\, {\rm{cm}};t) &=& 1{,}0 \cdot {10^{ - 2}}\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4{,}0\, {\rm{s}}}} - \frac{{0{,}075\,{\rm{m}}}}{{0{,}30\, {\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ &=& 1{,}0 \cdot {10^{ - 2}}\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4{,}0\,{\rm{s}}}} - \frac{1}{4}} \right)} \right)\\ &=& 1{,}0 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \frac{t}{{4{,}0\,{\rm{s}}}} - \frac{\pi }{2}} \right)\\ &=&  - 1{,}0 \cdot {10^{ - 2}}\,{\rm{m}} \cdot \cos \left( {2\,\pi  \cdot \frac{t}{{4{,}0\,{\rm{s}}}}} \right)\end{eqnarray}\]