Mechanische Wellen

Der Vergleich des gegebenen Terms \(y(t) = 0{,}08\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {\pi  \cdot \frac{t}{{1{,}0\,{\rm{s}}}}} \right)\) mit dem bekannten Term \(y(t) = \hat y \cdot \sin \left( {\omega  \cdot t \right)\) zeigt sofort\[\omega = \frac{\pi}{1{,}0\,{\rm{s}}}\]Daraus ergibt sich\[\omega = \frac{2\,\pi}{T} \Leftrightarrow T=\frac{2\,\pi}{\omega} \Rightarrow T=\frac{2\,\pi}{\frac{\pi}{1{,}0\,{\rm{s}}}}=2{,}0\,\rm{s}\]und damit\[f=\frac{1}{T} \Rightarrow f=\frac{1}{2{,}0\,\rm{s}}=0{,}50\,\rm{Hz}\]Hinweis: Wenn man den Term, der die harmonische Schwingung beschreibt, geschickt umformt, so erhält man\[y(t) = 0{,}08\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {\pi  \cdot \frac{t}{{1{,}0\,{\rm{s}}}}} \right)=0{,}08\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \frac{t}{{2{,}0\,{\rm{s}}}}} \right)\]Daraus kann man \(T=2{,}0\,{\rm{s}}\) ablesen.

Mit \(c=0{,}20\,\frac{{\rm{m}}}{{\rm{s}}}\) und \(f=0{,}50\,\rm{Hz}\) nutzen wir die Formel für die Wellenlänge einer harmonischen Welle\[\lambda = \frac{c}{f}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda = \frac{0{,}20\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{0{,}50\,\rm{Hz}}=0{,}40\,\rm{m}\]

Mit \(\hat y = 0{,}08\,{\rm{m}}\), \(T=2{,}0\,\rm{s}\) und \(\lambda = 0{,}40\,\rm{m}\) ergibt sich\[y(x;t) = 0{,}08\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( 2\,\pi  \cdot \left( \frac{t}{2{,}0\,\rm{s}}-\frac{x}{0{,}40\,\rm{m}} \right) \right)\]

\[y(0{,}30\, {\rm{m}};t) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \left( {\frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}} - \frac{{0{,}30\, {\rm{m}}}}{{0{,}40\, {\rm{m}}}}} \right)} \right) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}} - \frac{3}{2}\pi } \right) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \cos \left( {2\, \pi \cdot \frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}}} \right)\]

\[y(0{,}80\, {\rm{m}};t) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \left( {\frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}} - \frac{{0{,}80\, {\rm{m}}}}{{0{,}40\, {\rm{m}}}}} \right)} \right) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}} - 4\,\pi } \right) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}}} \right)\]

\[y(1{,}00\, {\rm{m}};t) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \left( {\frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}} - \frac{{1{,}00\, {\rm{m}}}}{{0{,}40\, {\rm{m}}}}} \right)} \right) = 0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}} - 5\,\pi } \right) = -\,0{,}08\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\, \pi \cdot \frac{t}{{2{,}0\, {\rm{s}}}}} \right)\]