Mechanische Wellen

Mit \(c=3{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(f=0{,}25\,\rm{Hz}\) nutzen wir die Formel für die Wellenlänge einer harmonischen Welle\[\lambda = \frac{c}{f}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[\lambda = \frac{3{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}}{0{,}25\,\rm{Hz}}=12\,\rm{m}\]

Die Welle breitet sich gleichförmig aus. Mit \(v=c=3{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}\) und \(s=120\,\rm{m}\) nutzen wir die Formel für die zurückgelegte Strecke bei einer gleichförmigen Bewegung\[s=v \cdot t \leftrightarrow t=\frac{s}{v}\]Einsetzen der gegebenen Werte liefert (bei zwei gültigen Ziffern Genauigkeit)\[t=\frac{120\,\rm{m}}{3{,}0\,\frac{\rm{m}}{\rm{s}}} = 40\,\rm{s}\]

Die beschriebene Anfangssituation wird am besten durch eine Sinusfunktion beschrieben. Mit \(\hat y = 10\,\rm{cm}=0{,}10\,\rm{m}\), \(T=\frac{1}{f}=\frac{1}{0{,}25\,\rm{Hz}}=4{,}0\,\rm{s}\) und \(\lambda = 12\,\rm{m}\) ergibt sich für die Wellenfunktion\[y(t;x) = 0{,}10\,{\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \left( {\frac{t}{{4{,}0\,{\rm{s}}}} - \frac{x}{{12\,{\rm{m}}}}} \right)} \right)\]

Mit \(x=120\,\rm{m}\) und \(t=50\,\rm{s}\) ergibt sich für die Auslenkung des Oszillators an diesem Ort und zu diesem Zeitpunkt\[\begin{array}{l}y(50\, {\rm{s}};{\rm{120}}\, {\rm{m}})\\ = 0{,}10\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \left( {\frac{{50\, {\rm{s}}}}{{4{,}0\, {\rm{s}}}} - \frac{{120\, {\rm{m}}}}{{12\, {\rm{m}}}}} \right)} \right)\\ = 0{,}10\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot \left( {12{,}5 - 10} \right)} \right)\\ = 0{,}10\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {2\,\pi  \cdot 2{,}5} \right)\\ = 0{,}10\, {\rm{m}} \cdot \sin \left( {5\,\pi } \right)\\ = 0\, {\rm{m}}\end{array}\]